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1、1 用冲激响应不变法将以下 变换为 ，抽样周期为)(sHa)(zHT 。为 任 意 正 整 数 ,)() )2()() )(02nsAsHbasnaa分析：冲激响应不变法满足 ，)(ThthanTaT 为抽样间隔。这种变换法必须 先用部分分式展开。)H第（2）小题要复习拉普拉斯变换公式,1!nStL，natsa SAstuAeh )()(!() 00 可求出 ，kThThkkTta又 ，则可递推求解。dzXx)()(解: ( 1)jbasjbasssHa 112 )()2)( 1)( )()( tueeth tjtjbaa 由冲激响应不变法可得： )( 2 )()( )()( nueeTnhT
2、jbaTjba11012 )()( zezeTznhzHjbTajbTa 21cos aa(2) 先引用拉氏变换的结论 1!ntL可得： nasAH)()0!1(0tuetht则)()!() 10kunTTkksadzXkxauZ)()( ,1 且按)1()(!1 11000zedznATkhzHTsnkskk可 得 ,32)1(,)100nzeATzHsSns，可 以 递 推 求 得 ：2. 已知模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一化系统函数为： 2 4136.)(ssHa 而 3dB 截止频率为 50Hz 的模拟滤波器，需将归一化的 )(sHa中的 变量用 来代替s50424 10869.30
3、.49)1()( ssaa设系统抽样频率为 ，要求从这一低通模拟滤波器Hzf设计一个低通数字滤波器，采用阶跃响应不变法。分析：阶跃响应不变法，使离散系统的阶跃响应等于连续系统阶跃响应的等间隔抽样， ,)()(nTgtnganTa由模拟系统函数 变换成数字系统函数的关系式为：)(sa，1)(1nTtLZzH还要用到一些变换关系式。解: 根据书上公式可得模拟滤波器阶跃响应的拉普拉斯变换为：)(1)(sGaa)108694.230.492 s 25()15(由于 200)(sinastueLat2)(cottstuL1)故 )(Ggaau(t) 145.2cos in 145.2et 则 )()(T
4、nau(n) T145.2cos( in1T 415.2e利用以下 z 变换关系：)(zXxZ(eneaTaT 1cos2in)(sinaTzuaZ1co2)(coszu1znZ且代入 a=222.14415sfTs3025可得阶跃响应的 z 变换)()(ngZzG41207.15809.3.2z).)(4.02zz由此可得数字低通滤波器的系统函数为：1GH21407.5809.8943zz3设有一模拟滤波器 1)(2ssHa抽样周期 T = 2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数 。)(z分析：双线性变换法将模拟系统函数的 S 平面和离散的系统函数的 Z 平面之间是一一对应的关系，消除了
5、频谱的混叠现象，变换关系为 。1zcs解：由变换公式 1及 可得：Tc2T = 2 时： 1zs1|)()(zsaHz112z213)(4要求从二阶巴特沃思模拟滤波器用双线性变换导出一低通数字滤波器，已知 3dB 截止频率为100Hz，系统抽样频率为 1kHz。分析：双线性变换关系同上题，先要用归一化的巴特沃思滤波器（ ）。利用 关系代入其中1 ccs/得到截止频率为 的模拟巴特沃思滤波器，然后变换成数字巴特沃思滤波器。解: 归一化的二阶巴特沃思滤波器的系统函数为： 14236.1 )(2ssHa则将 代入得出截止频率c为 的模拟原型为c1)20(4136.)20() ssHa8.97458.
6、由双线性变换公式可得： 12|)()(zTsaHz 18.3947)102(58.)0(39473213 zz214.0683.)(z5. 试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数（设 ）。sradc 1分析：巴特沃思逼近或称最平幅度逼近，其幅度平方函数定义为因 而，的 极 点 在 左 半 平 面 的 极 点 即 为而可 得 ：在 上 式 中 代 入 )()()(1)() )(1)( 222sHsjssjjjHaaNcaa Nca来 确 定 。时由 ，其 中 ，1)(0,.2 )(210sHsKNkesKaNjckk此题利用幅度平方函数求出其左半平面极点而求得系统函数， 不 是 归 一 化 滤
7、波 器 ） 。注 意 3 c解: 幅度平方函数为： 42)/(1|)(| cjH令 ，则有 2s4)/()(cas各极点满足下式：，412kjckesk=1,2,3,4 则 k=1,2 时，所得的 ks即为)(sHa的极点：2 431jejc3 452jesjc由以上两个极点构成的系统函数为 32)( ,1 03 )()( 02210ssHkkssaa所 以 可 得时代 入6. 试导出二阶切贝雪夫低通滤波器的系统函数。已知通带波纹为 2dB，归一化截止频率为 。sradc1(试用不同于书本的解法解答）分析：切贝雪夫滤波器的幅度特性就是在一个频带中(通带或阻带)具有等波纹特性；一种是在通带中是等
8、波纹的，在阻带中是单调的,称为切贝雪夫 I 型；一种是在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的，称为切贝雪夫 II 型。切贝雪夫 I型滤波器的幅度平方函数为： )(1)( 22cNaCjH由上式可以看出切贝雪夫滤波器有三个参数： 。 , ,c此三个参数给定后，可以求得滤波器的系统函 型 切 贝 雪 夫 滤 波 器 的 幅，可 以 证 明。数 I )( sHa度平方函数的极点为：kkkj其中 （ k = 1 , 2 , ,2N ） )1( ,)1( 2cos )1(inshNcbhNakbak其 中 注意在求系统函数分子的系数时，对切贝雪夫滤波器， 时 ，偶 数 ， 当对 )0( 为 通 带 的 极
9、 大 值 。奇 数 时对 ，而 不 是，是 通 带 的 极 小 值有 1)0( 1 )0(2aaHN解: 764831.05892. 10 2.021则，由 于 dB因为截止频率为，则sradc-0.84 2)765.1(2)4sin( 4in1shNcc）（378.1 2)65.01(2)4cos( )co(1shcNb01657. 94328.23.1)( )0227356.68.1 )()(378.804. 112AHsNsAsHjsaa可 求 得 时 ， 有故 是 偶 数 ，因 为则则 7. 已知模拟滤波器有低通、高通、带通、带阻等类型，而实际应用中的数字滤波器有低通、高通、带通、带阻
10、等类型。则设计各类型数字滤波器可以有哪些方法？试画出这些方法的结构表示图并注 明其变换方法。模拟模拟频带变换 数字化(a) 先模拟频带变换，再数字化(b) 把(a)的两步合成一步直接设计数字化 数字数字频带变换(c) 先数字化，再进行数字频带变换8. 某一低通滤波器的各种指标和参量要求如下：(1)巴特沃思频率响应，采用双线性变换法设计；(2)当 时，衰减小于 3dB；Hzf5.20模拟归一化原型 模拟低通、高通、带通、带阻 数字低通、高通、带通、带阻 数字低通、高通、带通、带阻数字低通 数字低通、高通、带通、 带阻模拟归一化原型 模拟归一化原型 (3)当 时，衰减大于或等于 40dB；Hzf5
11、0(4)抽样频率 。zfs2试确定系统函数 ,并求每级阶数不超过二阶的级联系统函数。)(分析：由模拟角频率先用线性变换变成数字角频率（ ），T 将 数 字 滤 波 器然 后 采 用 频 率 预 畸 法 ),2 (iitgT各临界频率 变换成样本模拟滤波器的各临界频率 。ii用这些 来设计“样本”模拟滤波器的系统函数 ，i )(sHa然后再用双线性变换得到数字滤波器的系统函数。解： 3s105fT201524.fststc采用双线性变换法: )(tgT由指标要求得：40tg40jH2038a1|)(|log|又 N2c2)(1)故 )(log|)(|logN2c10a10jH240)(401lo
12、g03)8(l 221Ncctgjtj因 而取等号计算，则有：)2(. 10/)4(01. /8423.02Ncctgt得 4.1)80/(1log(23.4tN取 N=2 , 代入(1) 式使通带边沿满足要求，7.5c可 得又二阶归一化巴特沃思滤波器为： 1s4236.1s)(H2a 代入 c/ ： 5.s.)(2a由双线性变换 140|)(zsaHz 2121)(5.46 0.)(40 zz)895.0.1(.682136.)( 957.6915.222521zzz或者也可将 N=2 代入(2) 中使阻带边沿满足要求，可得 ，这样可得：4c160s2sHa)(45z9886z2.看 题 目
13、 要 求 。 具 体 取 值 应，的 系 统 传 输 函 数 故 得 到 不 同先 后 两 次 取 不 同 的 值 ，同 的 指 标 要 求 ，为 了 满 足 通 带 、 阻 带 不 cczH)(9. 用双线性变换法设计一个六阶巴特沃思数字带通滤波器，抽样频率为 ，上 、下边带截止频率分别为 ，zfs50 Hzf1502。Hzf31分析：设计数字带通滤波器可用归一化原型（ =1）的模拟滤波器作为c“样本低通滤波器”（查表即可得其系统函数的系数），然后一次变换到数字带通滤波器。变换关系为： 数字滤波器类型 频率变换式 设计参量的表达式带 通 sinco102DzEs 2/)1cos(2)t(D0解： 由模拟低通数字带通53021fTfs22s1取归一化原型， ，则有：c1682.)5cos(92/)cos(2E4.)6(tg)(tgD1212c 查表得三阶归一化巴特沃思低通滤波器的系统函数为： 12)(3ssHLp2zEDsLpz|)(C0649BA3.218.0649.1 Z其 中代入后整理可得： 7956.8 32)1(2)3(01. 4,65. 123 )(233 654321DEDJIHzNMzLKJIzz其 中06938. 124.1 073. 32)1(2)(41.5 4623DNEEMLDK， 可 得 ：的 系 数 归 一 化将 分 母 中
