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1、 1第一章 引言 汽车车身曲线曲面造型是指运用自由曲线、自由曲面来描述汽车车身及其内饰件的空间几何形状。由于汽车车身零件多数为尺寸大，形状复杂的空间曲面，一般的机械制图方法难以将其完整地表现出来。在上世纪 70 年代以前，汽车车身曲线曲面造型一直采用手工造型，随着计算机技术本身和计算方法的不断发展，车身曲线曲面数值造型技术在企业中逐步应用。 汽车车身曲线曲面的手工造型具有开发时间长、效率低、误差大等缺点。在传统汽车车身设计过程中，先采用特殊的绘图系统手工绘制车身“主模板” ，再制作三维实体“主模型”的方法。由于产品开发过程中，需要对设计方案进行多次修改，使得整个开发过程持续时间很长，还会造成大
2、量的返工和浪费。传统车身造型精度差是另外一个难以克服的缺点。在汽车车身的生产准备过程中，需要对手工制作出的“主模型”进行多次“移形” ，即对同一曲线或曲面进行多次传递，例如，由主模板制作主模型，对主模型进行工艺补充后制作工艺模型，由凸工艺模型翻制凹工艺模型，再用工艺模型制造冲压用的模具。在这一系列的数据传递过程中，不可避免的会产生人为误差，使得制造出冲模精度难以得到保证，只有靠手工研配来解决。 解析几何、微分几何在描述规则曲线、曲面方面已经建立了系统的理论，但是，在建立汽车车身曲线曲面的数学模型， 并且对其进行控制方面， 解析几何， 微分几何难以担当此任。从 1974 年起，由函数逼近论、微分
3、几何、计算几何、计算数学、数控技术、计算机图学等学科发展起来的新学科计算几何（ Computational Geometry）提供了自由曲线、自由曲面造型的数学方法，在汽车、飞机、轮船以及其他工程曲线的插值、拟合中广泛应用。与传统建模方法相比较，用数学方法建立车身曲线、曲面的模型具有众多优点，表现为： 1） 提高设计精度。在车身数据模型建立以后，存入数据库，可以为生产准备、工装设计制造提供详尽、准确的原始数据，消除传统手工模型在模型复制过程中的人为误差。 2） 提高产品开发速度。 一方面车身曲面的数学模型直接为车身模具制造提供给准确的数据，减少模具开发时间，提高模具制造精度，而且，取消了三维实
4、体模型的制造过程，不仅节约时间，而且节约人力和物力。 3） 建立的车身模型可以方便地用于车身强度、刚度、结构动力学和空气动力学分析，提高设计质量和可信度。 4） 可以在原设计的基础上方便地进行改型和换型设计。 汽车车身曲线曲面多属于自由曲线曲面。人们对自由曲线的研究成果可以追述到 1946年， Schoenberg I. J. 提出了样条函数的概念，当时 Schoenberg I. J. 的研究成果并没有引起人们的重视，直到上世纪 60 年代，计算机技术的快速发展和生产需要，开始在航空、造船领域和数据拟合方面应用。 1963 年，波音公司的工程师 Ferguson J.C. 首先在飞机设计中应
5、用参数三次曲线。 1971 年英国航空公司的 Sabin M. A.将参数样条曲线向曲面推广，用于自由曲面的造型和加工。由于样条函数的缺陷，当今曲线曲面造型已经不再使用样条函数。 样条曲线属于插值曲线方法， 主要用于构造那些通过型值点的曲线， 不能进行曲线设计。法国雷诺汽车公司的工程师 Bezier P.于 1962 年提出以逼近理论为基础的曲线曲面设计系统，名为 UNISURF 系统。众多科学家，如 Forrest、 Gordon、 Reisenfeld、常庚哲、吴骏恒、苏步青等， 对 Bezier 方法的理论与应用进行大量的研究， 揭示了 Bezier 方法与 Berstein 多项式之间
6、的联系。美国 Ryan 飞机公司和英国剑桥大学都曾经应用 Bezier 方法建立曲线和曲面系统。由于 Bezier 方法不具备局部修改性，同时还具有不便于拼接的缺点。 2为了保留 Bezier 方法的优点，克服其缺点，在 19721976 年间， Gordon、 Reinsenfeld、 Foresst 等人改用 B 样条基函数代替 Bezier 方法中的 Berstein 基函数，将这种改进的曲线曲面建模方法称为 B 样条曲线。 B 样条方法同样以逼近理论为基础，保留了 Bezier 方法的直观性等优点，又弥补 Bezier 方法不便于拼接、不具备局部修改性等不足，成为当今自由曲线曲面数学造
7、型的重要的工具。 第二章 微分几何基础 汽车车身造型主要使用自由曲线和曲面，在讨论自由曲线曲面的理论和生成方法以前，需要介绍计算切矢量、法矢量、二阶导矢、曲率等概念，这些概念在曲线曲面生成、计算、拼合以及评价中都需要应用。 2.1 矢量与矢量函数 2.1.1 矢量 具有大小和方向的量成为矢量，也成为向量。力、力矩、速度、位移、动量、动量矩等等都是矢量。在几何学中，矢量可以用空间的有向线段来表示，例如 AB 表示空间一个矢量，其长度 AB 表示矢量的大小，端点的顺序 BA 表示该矢量的方向，该矢量记作AB 或用黑体 a 表示。 矢量的长度或大小又称为模，用AB 或 a 表示。 在右手直角坐标系
8、zyxo ,; 中， o 表示坐标原点， i， j， k 分别表示沿 x， y， z 三个坐标轴正方向的单位矢量。任何矢量 a 可表示为 ),(zyxzyxaaaaaa =+= kjia （ 2-1） 式中zyxaaa , 分别为矢量 a 沿 x 轴、 y 轴和 z 轴的坐标分量。 矢量 a 的模为 222zyxaaa +=a （ 2-2） 模等于 1 的矢量称为单位矢量。 矢量 a 的单位矢量为aau = 。 模等于 0 的矢量为零矢量，记为 0，零矢量式始点与终点重合的矢量。只有当两个矢量的分量分别相等时，该两个矢量相等。 模和方向不变的矢量称为常矢量，模和方向变化的矢量称为变矢量。 32
9、.1.2 矢量函数 若对应于 bta 中的每一个 t 值，有一个确定的矢量 r ，则 r 为 t 的矢量函数，记为)r(t 。显然矢量函数 )r(t 的每一个坐标分量都是 t的函数，即 kji)r(r += )()()()(),(),( tftftftftftftzyxzyx（ 2-3） 式中 )(),(),( tftftfzyx为三个标量函数。 如果将变矢量函数 a 表示为空间 P 点的位置矢量 = OP)r(a t 则当 t在 a， b中变动时， P 点在空间描出一条曲线，这时， P 点在空间的轨迹是一条曲线，称为矢量的矢端曲线。方程 btatztytxt += kjirr )()()()
10、(（ 2-4）称为曲线的参数方程。 关于函数的极限以及连续的概念都可以容易地推广到矢量函数。设 ()(),(),( tztytxt =)r( ， ()( )0000, zyxt =r 。 如果0)(lim0xtxtt=，0)(lim0ytytt=0)(lim0ztztt=成立，则当0tt 时， )r(t 趋向于极限)r(0t ，记为0)(lim0rr =ttt，而且不难证明 0rr =0)(lim0ttt。 矢量函数的极限运算还具有以下性质 () () )(limlim)(lim000ttttttttrtrt= ()() )(limlim)(lim0001tttttttt212rtrrtr+=
11、+ ()() )(limlim)(lim0001tttttttt212rtrrtr= 图 2.1 用矢量表示的球面图 2.2 导矢的几何意义 4()() )(limlim)(lim0001tttttttt212rtrrtr= 其中 ()t 为一个在 a， b中定义的数值函数。 矢量函数 )r(t 的连续性被定义为它的分量 ( )(),(),( tztytx 的连续性，即如果)(),(),( tztytx 关于 t 具有直到 k 阶的连续导数，则称矢量函数 ( )(),(),( tztytxt =)r( 为 k阶的连续矢量。 对矢量函数求导与对数值函数求导相同。设矢量函数 )r(t 在区间 21
12、,tt 内连续，并且0t和 )0(0+ ttt 都在区间 21,tt 内， 若极限ttrttt)()(lim0000+r存在， 则称 )r(t 在0t 是可微的，在极限称为 )r(t 在0t 的导矢，用 )(r0t 或0tdtd r表示： ttrttdttt)()(lim)(000000+=rdtrr（ 2-5） 导矢具有重要的几何意义，如图 2.2 所示。当 P 点沿曲线趋向0P 时，弦0PP 达到某一极限位置，即曲线在0P 点的切线位置， )(r0t 则称为曲线在0P 点的切矢。 若 kjir )()()()( tztytxt += ，则 ()( ) ( ) ( ) ( )() +=+tt
13、zttzttyttyttxttxttrtt,)()(00r当 0t 时，有 )(),(),()(tztytxt =r （ 2-6） 上式表明， 矢量函数导数的坐标分量等于矢量函数各个分量关于参数 t 的导数 。矢量函数的导数（切矢）仍旧是矢量函数，因此，也具有大小和方向，其方向为切矢方向，大小为切矢的模 )(tr ， ()( ) ( )222)()()()( tztytxt +=r（ 2-7）单位切矢量用 t 表示： )()(ttrrt =（ 2-8）矢量函数的求导与数值函数的求导有所不同，部分矢量函数的求导公式为 50=dtdc（ c为常矢量） ()dtdkkdtd aa = （ k 为常数
14、） dtddtddtddtd cbac)ba +=+( ()dtddtddtd aaa += （ 是 t的数值函数） ()dtddtddtd bababa += （ a 和 b 顺序可以交换） ()dtddtddtd bababa += （ a 和 b 顺序不可以交换） ()dtddtddtddtd cabcbabcaabc += （顺序不可以交换） ()dtddtdtdtd aa =)( （ 是 t的数值函数） 导矢在曲线曲面造型中具有非常广泛的应用。可以用导矢计算曲线的切矢、法矢、法平面、曲率、等矩线，可以用来计算曲面的切矢和法矢、曲面的等距面和曲率等等，还可以用来构造曲线和曲面。 2.1
15、.3 以弧长为参数的曲线方程 对于同一条曲线，选择的参数不同，或坐标系不同，曲线的表达式不同。这就是说，在讨论曲线时，坐标系和参数的选择具有人为因素的影响。曲线自身的弧长是曲线的不变量，与坐标系选择无关，选取弧长作为曲线参数，对研究曲线的性质有所帮助。 设 ()tr 为以空间给定曲线，其矢量方程为 () )(),(),( tztytxt =r 选 ( ) ()()( )000000, tztytxzyx =0P 作为计算弧长的起点， ( )111, zyx1P 为曲线上任意一点，于是0P 点到1P 点的弧长为 () () ()dttztytxdzdydxdssttttt+=+=10101222222)(0t10P,P（ 2-9） 由此曲线 r 上任意点 ()zyx ,P 的位置与该点到 ( )000, zyx0P 的弧长是一一对应的，如图所示。选择弧长作为曲线上坐标的参数，曲线 r 的矢量方程为 () )(),(),( szsysxs =r （ 2-10） 曲线以弧长为参数，称为弧
