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1、梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 1 - 页 共 18 页2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数 的可去间断点的个数为 3()(A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个.（2）当 时， 与 是等价无穷小，则0x()(A) ， . （B ） ， . 1a6b6(C) ， . （D） ， .（3）使不等式 成立的 的范围是1(A) . (B) . (C) . (D) .(0,)(,)2(,)2(,)（4）设
2、函数 在区间 上的图形为13则函数 的图形为0(A) (B)() 3 3 2 3 月共理想，人生齐高飞！第 - 2 - 页 共 18 页(C) (D)() 3 3 ）设 均为 2 阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ，则分块矩阵 的,|2,|3伴随矩阵为(A) . (B) . *32O*23O(C) . (D) .*B（6）设 均为 3 阶矩阵， 为 的转置矩阵，且 ，,若 ，则 为123123(,),(,)Q) . (B) . 00(C) . (D) 102（7）设事件 与事件 B 互不相容，则A(A) . (B) . ()P()()C) . (D) 1（8）设随机变量 与 相互独立，且 服从
3、标准正态分布 ， 的概率分布为,) 为随机变量 的分布函数，则函数 的间断点个数02P()月共理想，人生齐高飞！第 - 3 - 页 共 18 页(A) 0. (B)1. (C)2 . (D)空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 .（9） （10）设 ，则 .(),0)z（11）幂级数 的收敛半径为 （12）设某产品的需求函数为 ,其对应价格 的弹性 ，则当需求量为 10000 件时，价格()增加 1 元会使产品收益增加 元.（13）设 , ，若矩阵 相似于 ，则 .()T(1,0)30k(14)设 ， , 为来自二项分布总体 的简单随机样本， 和 分别
4、为样本均值和样本1)统计量 ，则 、解答题：1523 小题，共 94 明过程或演算步骤.（15） （本题满分 9 分）求二元函数 的极值.2(,)（16） （本题满分 10 分）计算不定积分 0)（17） （本题满分 10 分）计算二重积分 ，其中 .()2(,)1(),（18） （本题满分 11 分）（）证明拉格朗日中值定理，若函数 在 上连续，在 上可导，则 ，得()f,证 .()()（）证明：若函数 在 处连续，在 内可导，且 ，则 存0,()0(0)f在，且 .(0)19） （本题满分 10 分）梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 4 - 页 共 18 页设曲线 ，其中 是
5、可导函数，且 直线 及()0),1围成的曲边梯形绕 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 倍，求该曲线1t的方程.（20） （本题满分 11 分）设 , 0421（）求满足 ， 的所有向量 ， （）对（）中的任意向量 , ，证明 , , （21） （本题满分 11 分）设二次型 )()（）求二次型 的矩阵的所有特征值.（）若二次型 的规范形为 ，求 2） （本题满分 11 分）设二维随机变量 的概率密度为(,)其 他（）求条件概率密度 ；()）求条件概率 （23） （本题满分 11 分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以 、 、 分别与白球的
6、个数.（）求 ；10（）求二维随机变量 的概率分布.(,)全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 5 - 页 共 18 页目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数 的可去间断点的个数为 3()(A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个.【答案】C. 【解析】3则当 取任何整数时， 均无意义间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是 的解0x1,23x32001132故可去间断点为 3 个，即 0,（2）当 时
7、， 与 是等价无穷小，则x()2()(A) ， . （B ） ， . 1) ， . （D） ， .【答案】A. 【解析】 为等价无穷小，则2()(1)222200000(1)()36 洛 洛故排除(B) 、 (C) 36b另外 存在，蕴含了 故 排除(D)以本题选(A)月共理想，人生齐高飞！第 - 6 - 页 共 18 页（3）使不等式 成立的 的范围是1(A) . (B) . (C) . (D) .(0,)(,)2(,)2(,)【答案】A. 【解析】原问题可转化为求成立时 的取值范围，由11111x， 时，知当 时， ),t0,()0f（4）设函数 在区间 上的图形为1,3则函数 的图形为0
8、(A) (B)() 3 3 ) (D)() 3 3 案】 2 3 月共理想，人生齐高飞！第 - 7 - 页 共 18 页【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 的图形可见，其图像与 轴及 轴、 所围的图()的代数面积为所求函数 ，从而可得出几个方面的特征：()时， ，且单调递减.0,1x()0x 时， 时， 为常函数.,3x()时， 为线性函数，0由于 F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为(D).（5）设 均为 2 阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ，则分块矩阵 的,|2,|3伴随矩阵为(A) . (B) . *32O*23O(C) . (D) .*B【答案】B.【解析】根据 ，若1
9、,C分块矩阵 的行列式 ，即分块矩阵可逆236（ ）111612362故答案为(B)月共理想，人生齐高飞！第 - 8 - 页 共 18 页（6）设 均为 3 阶矩阵， 为 的转置矩阵，且 ，,若 ，则 为123123(,),(,)Q) . (B) . 00(C) . (D) 102【答案】A.【解析】 ，即：1231231231(,)(,)0(,)(121212122112()()()()0()0210012（7）设事件 与事件 B 互不相容，则A(A) . (B) . ()P()() . (D) 1【答案】D.【解析】因为 互不相容，所以,0(A) ，因为 不一定等于 1，所以(A) 不正确
10、.()()1()B)当 不为 0 时， (B)不成立，故排除.,(C)只有当 互为对立事件的时候才成立，故排除 ) ，故(D) 正确.()()1()梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 9 - 页 共 18 页（8）设随机变量 与 相互独立，且 服从标准正态分布 ， 的概率分布为,1) 为随机变量 的分布函数，则函数 的间断点个数102P() ）(A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.【答案】 B.【解析】 ()(0)(1)(1()120()独立,()(0)()2（1）若 ，则12Z（2）当 ，则z()()选(B)、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 .（9） 【答案】 .【解析】 02(201（10）设 ，则 .(),0)z【答案】 解析】由 ，故, )1梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 10 - 页 共 18 页代入 得， 12（11）幂级数 的收敛半径为
