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1、梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 1 - 页 共 22 页2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1） = .)12（2） 曲面 与平面 平行的切平面的方程是 4） 设 ，则 = .)(a（4）从 的基 到基 的过渡矩阵为 1,211,21（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 则 .， ,0,6),(1）已知一批零件的长度 X (单位：服从正态分布 ，从中随机地抽取 16 个零件，得到长)1(0 (则 的置信度为 置信区间是 .(注：标准正态分布函数值 )二、选择题（本题共 6
2、小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数 f(x)在 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有),(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. x（2）设 均为非负数列，且 , , ,则必有,) 对任意 n 成立. (B) 对任意 n 成立.c(C) 极限 不存在. (D) 极限 不存在. ）已知函数 f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且 ，则1)(,月共理想，人生齐高飞！第 - 2
3、- 页 共 22 页(A) 点(0,0)不是 f(x,y)的极值点 . (B) 点(0,0)是 f(x,y)的极大值点 . (C) 点(0,0)是 f(x,y)的极小值点 . (D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为 f(x,y)的极值点 . （4）设向量组 I： 可由向量组 线性表示，则r,21 s,21(A) 当 时，向量组 线性相关. (B) 当 时，向量组 r(C) 当 时，向量组 I 必线性相关. (D) 当 时，向量组 I 必线性相关. （5）设有齐次线性方程组 和 , 其中 A,B 均为 矩阵，现有 4 个命题： 若 的解均是 的解，则秩(A) 秩(B)； 若秩(A) 秩
4、(B)，则 的解均是 的解； 若 与 同解，则秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)， 则 与 ) . (B) .(C) . (D) . （6）设随机变量 ，则21),(A) . (B) .)(2Y)(n(C) . (D) . 1,（本题满分 10 分）过坐标原点作曲线 y=切线，该切线与曲线 y= x 轴围成平面图形 D.(1) 求 D 的面积 A;(2) 求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 （本题满分 12 分）将函数 展开成 x 的幂级数，并求级数 012)( （本题满分 10 分）已知平面区域 ，L 为 D 的正向边界. 试证：0,),() ;(2) 六 、 （本题满
5、分 10 分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为 k,k0）m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 r(00 时， .(2九 、 （本题满分 10 分）设矩阵 ， ， ，求 B+2E 的特征值与特征向量，其中32A10为 A 的伴随矩阵，E 为 3 阶单位矩阵.*十 、 （本题满分 8 分）已知平面上三条不同直线的方程分别为，:13.:30 （本题满分 10 分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙
6、箱中仅装有 3 件合格品. 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) （本题满分 8 分）设总体 X 的概率密度为梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 4 - 页 共 22 页,02)()(未知参数. 从总体 X 中抽取简单随机样本 ，记0 21 ).,21(1) 求总体 X 的分布函数 F(x);(2) 求统计量 的分布函数 ；)(3) 如果用 作为 的估计量，讨论它是否具有无偏性.梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 5 - 页 共 22 页2003 年考研数学一真题评注一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分
7、. 把答案填在题中横线上）（1） = . )12e【分析】 型未定式，化为指数函数或利用公式 = 进行计算求极限均 )(1.【详解 1】 = ,)12l(而 ，故原式=2ln(12e【详解 2】 因为 ，2(020 （2） 曲面 与平面 平行的切平面的方程是 442析】 待求平面的法矢量为 ，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标1n可根据曲面 切平面的法矢量与 【详解】 令 ，则2),(， ， y1则切平面的法矢量为 ，其与已知平面 平行，),(0z 1,20424200 ，相应地有 ,10 即 .)5(2(4)(2月共理想，人生齐高飞！第 - 6 - 页 共 22 页（3） 设
8、 ，则 = 1 .)(a【分析】 将 展开为余弦级数 ，其系数计算)()2f )(0解】 根据余弦级数的定义，有= 0x= 00 .【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算.（4）从 的基 到基 的过渡矩阵为 1,02121,1213【分析】 n 维向量空间中，从基 到基 的过渡矩阵 P 满足n,2 n,1 = P，因此过渡矩阵 P 为：P= ,21 n,21 12 ,2n【详解】根据定义，从 的基 到基 的过渡矩阵为R1,021,21P= ,2= （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为， ,10,6),(则 .1析】 已知二维随机变量(X,Y)的概
9、率密度 f(x,y)，求满足一定条件的概率 ，一般),(0转化为二重积分 = 进行计算.),(00),(解】 由题设，有梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 7 - 页 共 22 页112106),(yx (202 1 注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式的公共部分 D，再在其上积分即可 ）已知一批零件的长度 X (单位：从正态分布 ，从中随机地抽取 16 个零件，得到长)1,(0 (则 的置信度为 置信区间是 .：标准正态分布函数值 )【分析】 已知方差 ，对正态总体的数学期望 进行估计，可根据 ，由2)1,0(确定临界值 ，进而确定相应的
10、置信区间.112u【详解】 由题设， ，可见 于是查标准正态分布表知 本题 n=16, 9612u, 因此，根据 ，有40x .即 ，故 的置信度为 P .,5139P.)490,、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 8 - 页 共 22 页把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数 f(x)在 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有),(D) 一个极小值点和两个极大值点. (E) 两个极小值点和一个极大值点. (F) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. C x【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共 4 个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有 3 个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在 x=0 左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见 x=0 为极大值点，故 f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 本题属新
