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1、西 安 交 通 大 学 考 试 题 课 程 线性代数与解析几何（B 卷） 系 别 考 试 日 期 2006 年 1 月 8 日专业班号 姓 名 学 号 期中 期末说明: 指方阵 的行列式, 指方阵 的伴随矩阵 , 指矩阵 的秩,)det(A*A)(Ar指矩阵 的转置矩阵, 为单位矩阵. TI题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九得分签字一、填空题(每小题 3 分,共 15 分)1.设矩阵 ,则 的值为 100 .28Adet(TA2.设 、 均为可逆方阵,则 = .B1OB1B3.若线性方程组 无解,则常数 .123681xaa44.已知向量 是矩阵 的属于特征值 的特征向量,则5Ak2常数
2、 。k55.方程组 的基础解系是 .1230x12(,0)(1,)TT成绩共 6 页 第 1 页二、单项选择题(每小题 3 分,共 15 分)1. 设向量 , ,矩阵 ,则 等于(1,54)TTAdet()A. . . . 【 】()0ab()51c51a2.设 为 3 则阶方阵, 的充分必要条件是A0det的列向量组线性无关. 的行向量组线性相关.)( )(bA的秩为 3. 中有两行对应成比例 . 【 c db】3.设 3 阶方阵 ,其中 为 3 维行向量( ),矩阵123Ai 3,21i 213,B,则必有12010,PP. . . . 【 BAa21)( BAb12)( BAPc21)(
3、 BAPd12)(c】4. 设向量组 线性相关,而向量组 线性无关,则向量组12345,2345,的极大无关组是12345,. . )(a)(b234,. . 【 】c1234,d5,d5. 阶方阵 正定的充要条件是nA. 的 个特征值均大于零.()a0|()bAn有 个线性无关的特征向量. 为对称阵 . 【 c db】 共 6 页 第 2 页三、(12 分) 求过三个平面 的20,xyz310,xyz30xyz交点，且平行于平面 的平面方程。解过三个平面交点的面束为，2xyz(31)xyz(3)0xyz且平行于平面 ，知法向量平行，得 。即014,9240xyz为所求。四、(12 分) 当
4、、 为何值时,线性方程组ab123)(04314321axxb有唯一解、无解或有无穷多解？并在其有无穷多解时，求出结构式通解.解方程组的增广阵为 11011022A30abab （1） 时，原方程组有唯一的解。a（2） 时，原方程组无解。,1b（3） 时，原方程组有无穷多解。012(,),(,0),(1,0)TTT结构式通解为 ，其中 为任意常数。02xkk共 6 页 第 3 页 五、(12 分) 求向量组 ， ， ，1(2,43)2(1,6)3(1,29)， 的极大线性无关组与秩，并将其余向量用极大无4(1,275(,9)关组线性表示.解设 ，其系数矩阵为123450kkk121043A63
5、97 （1） 1245(,)r（2）极大线性无关组为 124,（3） ；312543六、(10 分) 已知矩阵 ，求10A50A解. ，特征值为 ，2det()det302I123,4特征向量为 123(,),(1,0)(1,)TTTppp正交阵为 ，36011326P50(1,24)TAPdiag共 6 页 第 4 页七、(10 分) 判定下面的二次型是否正定.3231212321321 4845),( xxxxf 解54A，102 5245det0,det0所以 正定123(,)fx八、 (8 分) (注意:学习过第 8 章“线性变换”者做第 (2)题,其余同学做第(1)题).(1)若三阶
6、方阵 有三个互不相等的特征值 ，设 ，求：A1,242BAI.det(*)B(2)设 ，定义为 ，3()TLRT T12312323123(,)(,)xxxx.求： 的值域与 的秩， 的核与 T 的零度.123(,x解（1） 的特征值为 ， ，B,7det()B2det(*)（2）值域 的基为 ， 的秩为 2，()RT(1,0)2,T的核的基为 ，T 的零度为 1.3共 6 页 第 5 页九、 （6 分）证明： 阶实矩阵 为正定矩阵的充要条件，是存在 个线性无关nAn的实向量 ，使得 .12(,),12,iiinm TT12nA解 正定的充要条件是存在可逆阵 使 ，AM可逆的充要条件是存在实的线性无关的行向量M使 ，即12(,),12,iiin 1nTT12nA共 6 页 第 6 页
