高考数学常用公式及结论130条1

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1、高考数学常用公式及结论 130 条绍兴艺术学校 徐建军 版权所有1. 元素与集合的关系 , .UxACxAx2.德摩根公式 .();()U UCBBC3.包含关系 UABR4集合 的子集个数共有 个；真子集有 1 个；非空子集有 1 个；12,na 2n2n2n非空的真子集有 2 个.5.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式 ; (2)顶点式 ;()(0)fxbca2()(0)fxahka(3)零点式 .12)x6.解连不等式 常有以下转化形式NMNM(ffxN7 解分式不待式(略)8. 方程 有且只有一个实根在 内,等价于 。)0(2acbax )(21k0)(21k9.闭区间上的二次函数

2、的最值 二次函数 在闭区间 上的最值只能在 处及区间的两端点)(2xf qp, abx处取得，具体如下：(1)当 a0 时，若 ，则 ；qpab, minmax()(),(),2bfxfffpq， ， .qpabx,2mx(),fini),(2)当 a 0 时，有 . 或 .2aax2axax69.无理不等式（1） .（2）()0()()fxfxgfg.2()()()00fxffx或（3） .2()()ffgfgx70.指数不等式与对数不等式 (1)当 时,1a; .()()()fxgxfgx()0lo()lg()aafxfxfg(2)当 时, ;01a()()()fxgxf()0lo()l(

3、)aafxfxfg71.斜率公式 其中（ 、 ）.21ykx1(,)Py2(,)y72.直线的五种方程 （1）点斜式 (直线 过点 ，且斜率为 )11()l1,xk（2）斜截式 (b 为直线 在 y 轴上的截距).ykb（3）两点式 ( )( 、 ( ).2121x121(,)P2,y12x(4)截距式 ( 分别为直线的横、纵截距， )abab、 0ab、（5）一般式 草药 (其中 A、B 不同时为 0).0AxByC73.两条直线的平行和垂直 (1)若 ，11:lykx22:lykx ; .1212|,lk2(2)若 , ,且 A1、A 2、B 1、B 2 都不为零,1:2:0lC ； ；1

4、22|lABC122l74.夹角公式 (1) . ( ， , )21tan|k1:ykxb22:lykxb1(2) .( , , ).121tan|AB11:0lAxByC22:0lAxByC120AB直线 时，直线 l1 与 l2 的夹角是 .12l75. 到 的角公式 （当直线与直线对称时,就可以用到角公式） ）(1) . ( ， , )21tank11:lykxb22:lykxb1(2) .( , , ).12AB0ABC20AByC120AB直线 时，直线 l1 到 l2 的角是 .l76四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点 的直线系方程为 (除直线 ),0(,)Pxy0

5、0)ykx0x其中 是待定的系数; 经过定点 的直线系方程为 ,k (ABy其中 是待定的系数,AB(2)共点直线系方程：经过两直线 , 的交点的直线系方程11:lABC22:lC为 (除 )，其中 是待定的系数1122()()0xyCxy2l(3)平行直线系方程：直线 中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线kb平行的直线系方程是 ( )， 是参变量0xy0(4)垂直直线系方程：与直线 (A0，B0)垂直的直线系方程是, 是参变量BxAy77.点到直线的距离 (点 ,直线 ： ).02|ABCd0)Pxyl0AxByC78. 或 所表示的平面区域C设直线 ，则 或 所表示的

6、平面区域是：:lxByxy若 ，当 与 同号时，表示直线 的上方的区域；当 与 异号时，0l xy表示直线 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若 ，当 与 同号时，表示直线 的右方的区域；当 与 异号时，A ABC表示直线 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.l79. 或 所表示的平面区域1122()()0xByCxy设曲线 （ ） ，则: BC120AB或 所表示的平面区域是：所表示的平面区域上下两部分；1122()()A所表示的平面区域上下两部分.0xyxy80. 圆的三种方程 （1）圆的标准方程 .22()()abr（2）圆的一般方程 ( 0).DxEF24EF（3）圆的

7、参数方程 .cosinry81. 圆系方程(1)过点 , 的圆系方程是1()Ax2()B2121212() ()()0xyyx,其中 是直线 的方程,0yabcabcAB 是待定的系数(2)过直线 : 与圆 : 的交点的圆系方程是l0AxByC20xyDEF, 是待定的系数2 ()xyDEF(3) 过圆 : 与圆 : 的交点的圆系方1211EF2C220xyy程是 , 是待定的系数222)82.点与圆的位置关系点 与圆 的位置关系有三种0(,)Pxy)()(rbyax若 ，则 点 在圆外; 点 在圆上; 点 在圆内.220dabdPdrPdrP83.直线与圆的位置关系直线 与圆 的位置关系有三

8、种:CBA22)()(; ; .交r 0交r 0交r其中 .(点到直线的距离公式)2bad84.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为 O1，O 2，半径分别为 r1，r 2， dO21; ;交交421rd 交交3rd;交221; .交交21 交交21085.圆的切线方程 (1)已知圆 0xyDEF若已知切点 在圆上，则切线只有一条，其方程是0(,)xy.00 ()2DEx当 圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程()y 00 ()2xy过圆外一点的切线方程可设为 ，再利用相切条件求 k，这时必有两条切kx线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线斜率为 k 的切线方程可设为 ，再利用相切条件求 b，

9、必有两条切线b(2)已知圆 22xr过圆上的 点的切线方程为 ;0(,)P20xyr斜率为 的圆的切线方程为 .k1ykr86.椭圆 的参数方程是 .21()xyabcosinayb87.椭圆 焦半径公式 ， .20 )(21xePF)(22xcaePF88椭圆的的内外部（1）点 在椭圆 的内部 .0(,)Pxy2(0)xyab021yab（2）点 在椭圆 的外部 .,21x89. 椭圆的切线方程 (1)椭圆 上一点 处的切线方程是 .21(0)xyab0(,)Pxy021yab （2）过椭圆 外一点 所引两条切线的切点弦方程是21(0)xyab0(,)Pxy.0xyab（3）椭圆 与直线 相

10、切的条件是 .2()AxByC22AaBbc90.双曲线 的焦半径公式 ， .210,xyab1|()|PFexc2|()|PFex91.双曲线的内外部(1)点 在双曲线 的内部 .0(,)P21(0,)xyab201yab(2)点 在双曲线 的外部 .,xy2,2x92.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为 渐近线方程： .12byax20yabxab(2)若渐近线方程为 双曲线可设为 .02x(3)若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点在 x 轴上，12byax 2bya0，焦点在 y 轴上）.093. 双曲线的切线方程(1)双曲线 上一点 处的切线方程是 .2(0,)

11、x0(,)Pxy021xyab（2）过双曲线 外一点 所引两条切线的切点弦21,yab,方程是 .02xab（3）双曲线 与直线 相切的条件是 .1(0,)y0AxByC22AaBbc94. 抛物线 的焦半径公式 抛物线 焦半径 .px2 2()p0pCFx过焦点弦长 .xpCD212195.抛物线 上的动点可设为 P 或 P ，其中 .pxy2),(y(,)2ypx96 二次函数 的图象是抛物线：（1）顶点坐标为224bacabcx0；（2）焦点的坐标为 ；（3）准线方程是 .4(,)2bca(,)241acby97. 抛物线的切线方程(1)抛物线 上一点 处的切线方程是 .pxy0,)Py

12、00()ypx（2）过抛物线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .2(x 0()ypx（3）抛物线 与直线 相切的条件是 .(ABC2BAC98.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或211()()xy22221212()|1tan|tABkxxyco（弦端点 A ，由方程 消去 y 得到 ， , 为),(,1yB0),(Fbk0bxa直线 的倾斜角， 为直线的斜率）. 99.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线 关于点 成中心对称的曲线是 .(,)0Fx0(,)Px0(2-,)Fy（2）曲线 关于直线 成轴对称的曲线是yAByC.22),ABC100证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面

13、二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.101证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.102证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.103证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直.104证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内

14、相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.105证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.106. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 ,侧面积和体积分别是 和 ,它的直lS斜 棱 柱 侧 V斜 棱 柱截面的周长和面积分别是 和 ,则 . .1cS1Sc斜 棱 柱 侧 1Vl斜 棱 柱107作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.108棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方） ；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比109.球的半径是 R，则其体积 ,其表面积 34VR24SR110.球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体: