《《二维形式的柯西不等式.》优质课比赛教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《二维形式的柯西不等式.》优质课比赛教案（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 / 5二维形式的柯西不等式教学目标：(1)知识技能:通过对二维形式的柯西不等式的探究和证明过程分析的学习，认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义(2)过程与方法:通过对柯西不等式几种不同形式的探究过程的学习，会用自己的语言叙述柯西不等式的几种不同形式，说出他们的结构特点，写出简要的证明；能总结出本节课涉及到的数形结合思想，比较法、综合法、配方法、类比法、构造法等数学方法，总结出应用柯西不等式解答问题的一般方法与步骤(3)情感态度与价值观:通过对二维形式的柯西不等式的学习，学生会感受到柯西不等式的对称与和谐美，感受探究、交流与合作的学习方式，同时提高学习数学的兴趣教学重
2、点：会证明二维形式的柯西不等式的三种形式，理解其几何意义教学难点：数形结合地认识不等式的等价关系教 具：多媒体、投影仪教学过程：1.复习导入(1)证明不等式的基本方法有哪些？【设计意图】引导学生回忆证明不等式的常用方法：比较法、综合法与分析法、反证法与放缩法(2)你能说明不等式 的几何意义吗？2(,R)aba【设计意图】从学生已有知识引入新课题不等式 的证明中涉及2(,R)aba到多项式乘法、实数的平方非负，这些知识对探究新课题仍然适用(3)已知 、b、c 、d 为实数，请探究 与 的大小关系a22()abcd2()cd【设计意图】学生从熟悉的实数的大小比较方法，得到，并可探究出不等式取等号的
3、条件，进而得到22()22()()0bdc二维形式的柯西不等式的代数形式2.讲授新课同学们从上面的探究活动中可以探究出下面的经典不等式：定理 1（二维形式的柯西不等式）若 都是实数，则,abcd 2 / 5， 222()()abcdacb当且仅当 时，等号成立adc证明： 都是实数，,b 222()()dacb2acdabc，20b ，当且仅当 时，等号成立2 2()()dacb上面是用比较法证明的，还可以用其他方法证明吗？【设计意图】引导学生探究不等式的其他证明方法，开拓学生视野，也有助于体验探究、交流与合作的学习方式学生 1：可以用综合法证明22222()abcdacdbcd2()()()
4、acb教师：很好！这是用综合法证明的，还有其他方法证明吗？学生 2：可以构造向量 ，用向量方法证明(,)(,)abcdmn设向量 ，则 ， .(,),abcdn2|2|cdn ，且 ，A|os,A ，即 ，|m22|bcdab 22()()abcda教师：很好！这是用向量方法证明的，为理解柯西不等式及其几何意义打下了良好的基础，还有其他方法证明吗？学生 3：根据二维形式的柯西不等式的构成特点，可以构造二次函数，利用判别式证明教师：思路非常好，请继续探索下去！学生 3：构造函数 ，222()()fxabxacbdx 恒成立，2()0fxacd ，即 22)4()bc222()()cdacb教师：
5、这位同学的探究活动做得非常好，是值得我们学习的证明过程有没有值得探究的地方？ 3 / 5学生 4：根据已知条件，函数 不一定是二次函数，必须讨论 的情况()fx 20ab教师：对！当 时，不等式显然成立，当 时，可构造上面的二次函20ab20ab数（这种方法为后面学习一般形式的柯西不等式打下了基础） 对二维形式的柯西不等式作适当的变形，会得到什么样的结论？【设计意图】引导学生分析二维形式的柯西不等式的结构特征（左边具有“平方和结构”，右边具有“积和结构”），可以得到它的两个推论 及22|abcdabA，这既可加深对二维形式的柯西不等式的理解，也有助于灵活应22|abcdabA用柯西不等式学生
6、5：由二维形式的柯西不等式可以得到下面推论：推论 1：若 都是实数，则 ,abcd22|abcdabA推论 2：若 都是实数，则 |教师：很好！这两个不等式中的等号何时成立？（当且仅当 时，等号成立）adbc从上面构造向量证明二维形式的柯西不等式出发，下面来探究二维形式的柯西不等式的几何意义【设计意图】从向量数量积出发，利用余弦函数的有界性，很容易得到向量不等式，而利用向量坐标表示，由不等式可推出不等式由不等式的几何|直观意义，就能对二维形式的柯西不等式作出直观的几何解释，同时体现了数形结合地认识同一问题的过程如图，设在平面直角坐标系中有向量 ， ， 与 之间的夹角为 ，(,)ab(,)cd0
7、根据向量的数量积，我们有 ， |cos两边取绝对值得 ， |s| |用平面向量的坐标表示不等式，会得到什么结论？ 学生 6：得到 ，即 22|abcdabA 22()()cd教师：对！请同学们探究不等式在什么条件下取等号？学生 7：当且仅当 ，或存在实数 ，使 时，等号成立0k 4 / 5教师：对！我们从上面的探究中可以知到，不等式与不等式等价，所以我们把不等式称作柯西不等式的向量形式.于是得到：定理 2（柯西不等式的向量形式）：设 ， 是两个向量，则有，当且仅当 ，或存在实数 ，使 时，等号成|0k立由图，根据两点间距离公式及三角形的边长关系，会得到什么结论？【设计意图】引导学生从熟知的两点
8、间距离公式及三角形中 两边之和大于第三边得到不等式 ，并用柯西不22221 11()()xyxy等式探究不等式的证明，初步体会用柯西不等式证明不等式的方法与步骤学生 8： 22221 11()()xyy教师：对！请继续探究不等式在什么条件下取等号？学生 8：当且仅当 时取等号12PO教师：对！这就是我们今天介绍的第三个重要不等式二维形式的三角不等式定理 3（二维形式的三角不等式）：设 ，那么12,Rxy22 21 1()()xyy上面从几何角度探究出了三角不等式，下面请同学们应用柯西不等式从代数角度证明这一不等式，并探究三角不等式的一般形式， 22222213133311()()()()(x)
9、()xyxyy解释平面三角不等式的一般形式的几何意义【设计意图】引导学生探究平面三角不等式的一般形式的几何意义，进一步体会探究、交流、合作的学习方式3小结本节课主要学习了二维柯西不等式的代数形式、向量形式、三角形式及几何意义【设计意图】引导学生归纳出本节课学习的主要内容，二维形式的柯西不等式的几种形式、结构特征、几何意义4巩固练习（1）已知 ，求证 221,9mnxy3mxny 5 / 5（2） （2008 年全国高中数学联赛江苏初赛试题）如果实数 m，n，x ，y 满足 ，an2，其中 a，b 为常数，那么 的最大值为 yxmxnyA. B. C. D. 22ba2ba（3）若 ，则 的最小值是 1ab21()()a（4）练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式（5）作业：教材 P.37 第 4、5 题【设计意图】补充 3 个作业题，起独立思考、巩固知识目的，并初步体会柯西不等式的应用
