解直角三角形精彩回眸

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1、解直角三角形精彩回眸一、锐角三角函数本专题包括两个方面的知识点，一是锐角三角函数的概念；二是一般的锐角三角函数值的计算；这两个知识点是本章的基础，也是解决实际问题的关键，通过本专题的复习应达到以下目标：（1）掌握锐角三角函数定义；（2）掌握锐角三角函数值的几种不同的计算方法例 1三角形在正方形网格纸中的位置如图 1 所示，则 的值是（） sin 34354分析：本题是一道设计比较新颖的试题，它通过网格的特征给出解题信息，由正方形网格可知角 的对边的长为 3，邻边的长为 4，要求 ，只要根据勾股定理求出三角形si的斜边，再根据三角函数的定义计算即可解：设 的对边为 a，邻边为 b，斜边为 c，则

2、 a=3，b=4，所以 ，所2345c以 ，选 Csin5c说明：解决这类问题的思路是依据图形确定三角形的三边的长，然后根据定义进行计算例 2如图 2，ABC 中，C=90，AC+BC=7 （ACBC） ，AB=5，则tanB=_分析：要求 tanB，根据锐角三角函数的定义，则需要求对边 AC 和邻边 BC 的长，因为知道斜边 ，且 ，所以可以根据勾股定理进行计算5A7解：设 ，则 ，根据勾股定理，得xx，解得 22(7)x4所以 所以 43CB， 4tan= 3ACB说明：本题的解题思路是根据已知条件确定B 的对边和邻边的长，采用了一般的解题方法，并体现了方程思想在求三角函数值中的应用实际上

3、，本题是一道填空题，不通过计算直接观察就可以解决因为斜边是 5，且两条直角边的和为 7，所以两条直角边的长分别是 4 和 3例 3在 RtABC 中，C=90，若 AB=2AC，则 cosA 的值等于（） A 33213分析：已知三角形的两边的关系，要求 cosA，根据三角函数的定义可知，所以只要由已知条件求到 即可cosCBCB解：因为 ，所以 2A12所以 选 C1cs说明：本题是一道选择题，解决问题时可以采用取特殊值的方法，即令 ，则1AC这样更简单2B同步练习一：1在ABC 中，C=90，AB=2，AC=1，则 sinB 的值是（） 22232在ABC 中，C=90，BC=2，sin

4、A= ，则边 AC 的长是（） 3 543133在 Rt ABC 中，C=90，若 AB=5，BC=3 ，则 cosB=（） 44如图 3，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于点D已知 AC= ，BC=2 ，那么 sinACD （） 5 3252二、特殊角的三角函数值本专题主要是特殊角的三角函数值的有关计算，特殊角的三角函数值在解决实际问题中应用非常广泛，所以通过复习应达到以下目标：熟练掌握 30，45、60角的三角函数值，并能通过特殊角的锐角三角函数值进行简单的计算例 1tan30的值等于（） 23233分析：本题考查特殊角三角函数值理解情况解决本题需要熟练记住特殊角的三角函数值解

5、：选 C说明：如果没有记住 30的正切值，可以先画一个含有 30角的直角三角形，根据30角所对的直角边等于斜边的一半，找到三边关系，根据定义求解例 2计算 tan60+2sin45-2cos30的结果是（） A2 B C D132分析：本题是一道与锐角三角函数值有关的计算问题，解决问题的关键是先确定函数值，然后再进行实数的运算解： tan602si45cos0332故选 C说明：与特殊角三角函数值有关的运算，先写出每个角的函数值，然后转成实数运算，应注意运算的顺序和计算的方法同步练习二：1计算： _0|4sin5|(cos6tan3)82计算： _221303锐角 A 满足 ，则 _si()A

6、4如果 ，那么锐角 的度数是（） 22in115B30C45D 605在ABC 中，C=90，若B=2A，则 cosB 的值等于（） A B C D333212三、解直角三角形本专题主要是根据直角三角形的边角关系，确定边长、角的度数以及三角函数值等，此类问题是锐角三角函数解决实际问题中的一个过渡，通过本专题的复习，应达到以下目标：能根据直角三角形中的边角关系，求边长，角的度数以及锐角三角函数值等例 1如图 4，已知 AD 为等腰三角形 ABC 底边上的高，且tanB = ，AC 上有一点 E，满足 AEEC =23那么，3tanADE 等于（） A B C D 5231分析：要求 tanADE

7、 值，需要构造包含ADE 的直角三角形，为此需要过点 E 作FEAD ，再求 即可EFD解：因为 ADBC 于 D， AB=AC，所以BAD=CAD因为 tanB = ，B+CAD=90，43所以 tanCAD= 作 EFAD 交 AD 于 F，则 tan CAD 34EFA所以 34EA因为 ， ，所以 EFCBDBC D又 AEEC =23，所以 AFFD =23所以 FD= AF32所以 故选 C14tan2AFE说明：当要求锐角三角函数值的角不在直角三角形内时，其解题思路是构造直角三角形或寻找等角本题采用了构造直角三角形的方法例 2如图 5，梯形 ABCD 中，ADBC，B=45，C=

8、120，AB=8，则 CD 的长为（） A B C D8634682342分析：求 CD 的长可构造直角三角形利用三角函数求解：如图，作 AFBC 于点 F， DEBC 于点 E，则根据已知条件可求出DE=AF=ABsinB，再根据三角函数求出 CD 的长解：作 AFBC 于 F， DEBC 并交 BC 的延长线于 E 在 RtABF 中，因为 AB=8，B=45，所以 AF=ABsin45=8 4，2所以 DE=AF=4 2在 RtCDE 中，因为 DCE=180-120=60，所以 ，故选 A486sin6032DEC说明：在利用锐角三角函数求边长时，若所求的边不在直角三角形内，则要将它转

9、化到直角三角形中去，转化的途径比较多，如构造直角三角形或用已知的直角三角形的边或角来代替同步练习三：1如图 6，CD 是 RtABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则 cosBCD=_2如图 7，在ABC 中，BAC =90，AD 是高，AC= ，tan DAC= ，则55AB=（） A5 B C D5253如图 8，在ABC 中，B=60 ，BC =2，中线 CDBC，求 AB，tanA 的值四、用锐角三角函数计算高度本专题主要涉及高度的计算，如计算旗杆的高度，楼房的高度、山的高度等此类问题的解题思路是构建直角三角形模型，一般需要将两个直角三角形联系起来，通过列方程解决问题通过本专题的复习

10、，应达到以下目标：能构造直角三角形解有关高度问题例 1小刘同学为了测量雷州市三元塔的高度，如图 9，她先在 A 处测得塔顶 C 的仰角为 32，再向塔的方向直行 35 米到达 B 处，又测得塔顶 C 的仰角为 60，请你帮助小刘计算出三元塔的高度（小刘的身高忽略不计，结果精确到 1 米） 分析：要计算三元塔的高度，反映到几何图形上，就是求 CO 的长，根据已知条件可用含有 CO 的关系表示 OA、 OB，然后根据 OA-OB=AB 去求CO解：在 RtAOC 中，OA= tan32OC在 RtBOC 中，OB= 60因为 AB=OA-OB，所以 35tan32tOC所以 （米） 41ttan6

11、0所以三元塔的高度约是 34 米说明：利用直角三角形求高度，一般是从实际问题中构造直角三角形，或将已知图形中的两个直角三角形联合起来例 2原电视发射塔为 BC为稳固塔身，周围拉有钢丝地锚线（如图 10 线段 AB） ，若 AB=60m，并且 AB 与地面成 45角，欲升高发射塔的高度到 CB，同时原地锚线仍使用，若塔升高后使地锚线与地面成 60角，求电视发射塔升高了多少米？（即 BB的高度） （精确到 0.01m） 分析：要求电视发射塔升高了多少米，反映到图形上即求 BB 的长度关键在于求出原电视发射塔的高度和升高后发射塔的高度可通过解直角ABC 求出 BC，再解直角ABC ，求出 BC，从而

12、 BB=BCBC解：在tACB 中，因为 ， ，45A60m所以 （m） sin60sin32A在 中， ， ，RtCB BC所以 （m ） sin60302A所以电视塔升高的高度为：（m ） 3()9.54BC评注：求电视塔升高的高度，其解题思路是从实际问题中构造直角三角形模型，通过解直角三角形求到相应线段的长度进而求到线段的差同步练习四：1如图 11，在把易拉罐中水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点 P 与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为（） A2cm B4cm C6cm D8cm2如图 12，为了测量某建筑物 AB 的高度，在平地上 C 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 30，沿

13、 CB 方向前进 12m 到达 D 处，在 D 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 45，则建筑物 AB 的高度等于（） A m B mC m D m6(31)6(31)2(31)12(3)3 “平阳府有座大鼓楼，半截子插在天里头” 如图 13，为测量临汾市区鼓楼的高AB，在距 B 点 50m 的 C 处安装测倾器，测得鼓楼顶端 A 的仰角为 4012，测倾器的高CD 为 1.3m，则鼓楼高 AB 约为_m （tan40120.85） 4 （广西玉林）某科技馆座落在山坡 M 处，从山脚 A 处到科技馆的路线如图 14 所示已知 A 处海拔高度为 103.4m，斜坡 AB 的坡角为 30，AB=40

14、m，斜坡 BM 的坡角为18，BM=60m，那么科技馆 M 处的海拔高度是多少？（精确到 0.1m，参考数据：sin18=0.309）五、用锐角三角函数解航海问题航行问题主要包括求航行的时间，求航行速度，判断是否有触礁危险等，是考试中的热点问题解决航行问题的关键是从实际问题中构建一个或两个直角三角形，通过三角函数直接解决或根据图形中的数量关系建立方程解决例 1如图 15，灯塔 A 周围 1 000 米水域内有礁石，一舰艇由西向东航行，在 O 处测得灯塔 A 在北偏东 74方向线上，这时 、A 相距 4 200 米，如果不改变航向，此舰艇是否有触礁的危险？分析：要判断舰艇是否有触礁的危险，关键比较点 A 到正东方向的距离与 1 000 米的大小，因此，需过点 A 向正东方向引垂线，转化为解直角三角形的问题解：如图 15，过点 A 作 AB 与正东方向线垂直，垂足为 B在tAOB 中，OA =4 200，AOB=90-74=16AB=AOsinAOB=4 200sin16=4 2000.275 61 158（米） 因为 1 1581 000，所以此舰艇按原航向继续航行没有触礁的