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1、1对由 引发的学生认知错误与老师纠错方式不当的反思27广东省东莞市石龙镇第三中学（523323） 杜咎一、初中二年级无理数某老师公开课教学片段呈现用 引出无限不循环小数无理数概念实数概念老师出示一组练习，其中一题2是：下列各数 、0、 、 、 ， 、 ，其中无理数有哪几个？783642学生练习完后，老师提问时有部分学生认为 是无理数。7师：（很惊讶地问） 怎么会是无理数？2生：（有五六个学生同时回答）用计算器得 ，它是不循环的，因23.1485而它是无理数。师：分数和整数统称有理数， 是不是分数？7学生齐答；是。师：所以 是有理数，不是无理数。因此，这里的无理数有，共 4 个。27课堂回复平静
2、。二、学生认知错误的原因分析学生为什么会忽视了“ 是分数，分数就是有理数” ，这样的简单事实，走弯路用计2算器验证 是否循环小数？有两方面原因：一是本节教材及数的概念在初一、初二的编27排体系本身有缺陷，二是教师在课堂教学中也只是以“教教材”的观念进行课堂教学，没有以“课标”为依据对教材做必要的开发。教材（华东师大版，以下同）分四个层次向学生说明无理数的概念：用计算器求得，结果显示 ；再用计算器计算 ，21.42356 29.1412356. 只是接近 2；用计算机计算 ，得小数点后 870 多位都不循环，于是得出结论： 是无限不循环小数（学生心中会有一点凝问，870 位后会不会循环？） ；类
3、似的 ， 等35都是无限不循环小数。无限不循环小数叫无理数。让学生通过探究认识到没有一个有理数的平方能等于 2，教材这样编排突现了学生的自主探究，符合新课标精神。但这里只是强调“无限不循环就是无理数” ，所以学生认为经过验证是无限不循环就是无理数，因而就有用计算器将 化为小数的冲动。但根本原因7在于：第一，学生还没有形成“分数一定可以化成小数，小数不一定能化成分数”的共识。学生在小学学习中形成的理念“分数、小数”是两类数，并没有深切的认识到像这样“2”的本质意义。甚至很多学生只知分数化小数是用分子除以分母，但对.310.75,34小数化为分数并不熟练，八成左右的学生只会用这样的方法： ，把一些
4、简7530.14单小数为化为分数，教材没有要求学生掌握循环小数化分数的思想与方法，这就更加淡化了学生对“无限不循环小数与无限循环小数”的区别。第二，在初一学习“整数和分数统称有理数”时，只是通过举例把“小数统一在分数内” （教材七年级上“有理数”第 18 页） 。给学生的认知错觉是“小数就是分数，分数就是小数” ，无形中掩盖了无限不循环小数的存在。第三，学生对“小数、循环小数”概念的学习是在小学完成的，初一没有明确区分“有限小数、无限小数、无限循环小数、无限不循环小数” ，教材（初二上第 9 页）只是举了 3 个分数化小数的例子，没有做进一步说明。第四，对于“无限小数”学生没有数感。尽管从小学
5、就开始用圆周率 ，但并没有强调它的无限“不循环” ，学生只知 是“无限小数” ，近三成学生不能正确区分“ 与 3.14”。因而学生对“无限不循环小数”实际上没有任何直接经验。甚至对“无限循环小数”的认识也仅仅只是“知道” ，还不能“确信” 。 新课标.1203,6 326.0,1.强调培养学生的“数感” ，教材编写者应在“无理数”概念前让学生对“无限小数”有必要的、足够的感受，这样的铺垫符合螺旋上升的原则，有利于学生对“无理数、实数”概念的全面理解。三、对老师纠错方式的分析首先，老师没有对这几位同学的探索精神给予肯定，是对学生充分进行数学活动的无视，不利于激发学生的学习积极性，无助于学生生命尊
6、严的提升。能用手中的计算器验证是不是循环小数，从而以“循环与不循环”作为判定的标准并没有错，思路有正确的27一面，在学习上有主动性的学生才会有此思路。 其次，老师对学生错误的讲评切入点是不恰当的，处理方法也不符合新课标“学生是数学学习的主任”的精神。老师也许认为“ 是有理数，是常识” ，并没有认识到这个偶27然的错误后面潜在的概念不清。只告诉学生“ 是分数，所以是有理数” ，并没有抓住学生错误的根源，学生错误的根源是“ ，不循环” 。因此老师在纠正学生3.14285错误时的切入点是不恰当的，填鸭式的教学方式葬送了学生的创新火花。对这一课堂意外的处理至少有二种处理方式：1如果的确课堂时间紧，老师
7、可先在黑板上列除法竖式 师生共同做除法，向72学生展示 是否循环（实际上在小数点后第 12 位就能清楚的看到循环的特征） ，不仅让27学生明确 是循环小数，而且要明确计算器上为何看不到循环的特征。最后引导学生自己归纳出：分数可以化为有限小数或无限循环小数，二者必居其一。分数是有理数，是有理数就一定是有限小数或无限循环小数。应该将学生的认知策略和学习策略作为纠错过程3的一个关注点，而不是只关注结果（ 是无理数） 。272如果课堂时间允许，最好将对这一错误的探究权力交给学生，纠错过程应该让学生有实质性的参与。老师可先不做结论，请四人小组讨论以下问题： 是不是不循环小27数？ “小数是有理数”对吗？
8、 “小数是无理数”对吗？小数可以怎样分类？ 学生讨论后再请几个小组代表回答以上问题，老师把学生的思想归结在一起，引导学生列出下表：有限小数 有理数小数 无限循环小数 无限小数 无限不循环小数 无理数教学过程本身就是一个产生想法和发展想法的地方，学生与学生、老师与学生，你的思想点燃我的思想，而我的思想又可能丰富、深化或修正你的思想。四、教学反思学生的真实学习过程必然包含不完善的推理、对问题认识的片面性和间断性，老师在课堂上要能及时捕捉学生有价值的错误（有些错误是课前难以预料到的） ，这些错误就是很好的“问题情境” ，能生成一些新的学习目标。引导学生从不同角度审视问题，让其在纠错的过程中，自主地发
9、现问题，解决问题，课堂教学肯定能掀起一个有意义的高潮。但是，在课堂教学中一旦学生出错，老师往往以时间紧为由，不是引导学生分析错误原因，要么让学生课后找他讨论，要么直接把正确的解法告诉学生，然后为了巩固这种解法，教师要求学生做一次简单的变式训练（知识点及表现形式完全相同） ，重复再现解决问题的过程。学生没有思考的时间，更没有发表自己观点、提出问题的机会，抹杀了学生难得的灵性，导致学生头脑中机械的成分越来越多，而思辨的成份越来越少。实际上，学生在课堂学习中的错误是个难得的教学资源，稍纵即失。学生解题错误的原因是多方面的，它往往是学生在新旧知识概念、命题之间的联系上出现了错误“同化” 。这种错误形成
10、于特定的教学情境中，是看得见、听得到、感受得到的事实，就像亲眼见到的交通事故一样逼真，容易吸引学生的兴趣和注意力。用部分学生的错误引起其它学生的认识冲突，刺激学生产生疑问和探索的欲望，借机引导，加深学生对知识的正确理解，这样既能体现新课标“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者” ，又能体现老师对学生人格的尊重，唤回学生的自信。 因此，发现、捕促错误，关注、利用错误，体现着教师的睿智、教学理念与实力。在课堂教学过程中，当概念性错误、思想（认识）性错误出现时，教师既不能置之不理，也不能简单处理（如将答案直接告诉学生） ，应该以此为契机，巧妙引导，将教学活动引向深入：或让学生再次探究，在探究中找答案并解决问题；或组织讨论，在思想碰撞中修正和丰富认识。参考文献：1 陈柏良。一堂难以释怀的公开课。中学数学教学参考 2005（ 6） 。2 王建磐主编。义务教育课程标准实验教科书数学七、八年级（上） 。华东师范大学出版社 2007。3 中华人民共和国教育部制订。数学课程标准（实验稿） 。北京师范大学出版社。 2002。作者介绍：杜咎（1965 ） ，男，1989 年大学本科毕业，先后任教高中数学、初中数4学，多次获镇优秀教师、优秀班主任，市课改实验先进教师。另附联系方式：家电：076986606827。手机：13528556511
