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1、抛物线中有关三角形面积最值问题探索浙江省象山中学 张美娟上课时间：2013.5.县师资培训暨骨干教师带徒第三小组活动上课班级：高三（3）班上课地点：象山中学微格教室教学目标知识目标: 1.掌握三角形面积的多种表示:公式法、水平分割、垂直分割,学会根据具体题情选择方法；2.抛物线的图象与性质特征；3.直线与抛物线的关系，设而不求方程组思想、点差法等解解析几何常规方法.能力目标: 在解圆锥曲线的的关题目中,学会分析图形的静与动,抓住图形变化的主因,引起变化的关键因素.情感、态度、价值观：学生在自我建构与课堂交流中分析能力得以提高.教学过程引例 如图 1，在直角坐标系 中，点 （1， 2）到抛物线
2、： 2y= （ ）xoyPCpx0的准线的距离为 .点 （ ，1）是 上的定点， 、 是 上的两动点，且直线54MtCAB平分线段 .ABO（1）求 的值。,pt（2）求 面积的取值范围.P解：（1）由题意得 ，得 .51()24pt12t(2) （1，1）, 中点 ，设直线 ，MO(,)G1:2ABxmy由 ，得 ， .2()2yxm2102ym2设 ， ，则 + ， 1,Axy,B121y2则 / 轴，对三角形 进行水平分割成两个三角形 与 ，即 =GPAPAGPBABPS+ = .( ，AGPSB21y2m214m14当 1 时，线段 与 重合).mOM变题 1 当题目中“点 （1， ）
3、到抛物线 ： 2y= （ ）的准线的距离为PCpx0”改为“点 （ 2，1）到抛物线 ： 2= （ ）的准线的距离为 ”时，54 34如何表示三角形面积会更利于运算.反思 1 此题背景设置相对比较简单，1)让学生快速进入圆锥曲线中求三角形面积的通性通法：公式法，合理选择水平分割法，或竖直分割法. 2)在求解直线与圆锥曲线位置关系中，运用设而不求方程组思想消元时，如何消元是否有讲究，对运算的精与简是否有影响？一看目标分析，此题对三角形进行水平分割后，目标函数表示的式子是用 表示，消元可y以考虑消 转化成关于 的特征方程更有利于运算 .二看抛物线方程中的一次未知元是 ，xy x在直线与抛物线联立方
4、程组中，通常消去曲线方程中的一次未知元，运算会比较简洁，这是抛物线与椭圆、双曲线的区别.运用比较简单的问题背景唤醒学生的思维，让学生理解通性通法学会分析思考.变题 2 把引例中的条件“直线 平分线段 ”改为“线段 被直线 平分” ，ABOMABOM其它条件不变. （1）求 的值。,pt（2）求 面积的最大值. (2012 年浙江高考文科第 22 题)ABP解：（2）抛物线方程为 ， （1，1）.2yxM设 ， ，线段 AB 的中点坐标为 ， 1,Axy2,B,Qm由题意得，设直线 AB 的斜率为 k（k 0）.由 ，得 ，得 1 ，21yx12()y12()1xk2直线 的方程为 ，即 2 +
5、2 0.ABmmy由 ，整理得 2 +2 0，220xyy所以 4 4 ， + 2 ， 2 .21y1从而得 = ，AB2k124m2设点 到直线 的距离为 ，则 ，1,2PABd214m设 的面积为 S，则 = .122()2由 4 4 0，得 00，则 （ + ） ，t123S643t()ft （ ） ，()ft1642t2t在（0， ）上单调递减，在 上单调递增.()ft34(,)3故 ，此时 ，123S4m1436所以 的最小值为 ，直线 的方程： + .1232lyx1436解二：点 到直线 的距离 .FPT1d214y21点 到直线 的距离 .Q2214x214y= ，13S12PTd214()y21()ym同理 ，3S4(1)m = ，2PQdA14得 = .下面解法同解法一.13S26854回顾与反思:1.圆锥曲线有关综合问题,常需分析图形的静与动,抓住变化的关键因素.2.“目标先行”是一个永远的话题3.数、形两方面恰当地表示图形的位置关系和数量关系.几何关系如何用代数形式转化,是解圆锥曲线问题的关键.
