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1、一元一次不等式重点、难点和关键及例题解析【重点、难点例题解析】例 1 按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并注明理由(1)若 ab 两边都加-5；(2)若-2ab 两边都除以-2；(3)若 3a-b 两边都除以 3；(4)若 ab 两边都加上 c；(5)若 ab 两边都乘上 c解：(1)a-5b-5，(不等式基本性质 1)(5)因为不等式两边乘以 c，而 c 是字母代替数，因此 c 有三种情况， c0，c0，c=0当 c 0 时， acbc(基本性质 2)当 c 0 时， acbc(基本性质 3)当 c=0 时，ac = bc例 2 比较下列各题中两个式子的大小：(3)a +b 与 a-b；(
2、4)-3a 与-4a具体数，能直接判断每一个数的正、负或零，用大小比较法则就可以判断，若含有字母的数，如(2)、(3) 、(4) ，不易判断每一个数的符号，用有理数比较大小的法则就较困难，而用不等式性质来判断就较容易，若已知 a-b0，用性质 1，a-b + bb，即 ab若已知 a-b0，同理可得 ab，若 a-b=0，则 a = b所以两个有理数大小比较可用两数的差的符号来判断(3)(a+ b)-(a-b)=a +b-a +b=2b当 b0 时，2b0， a +ba-b；当 b0 时，2b0， a +ba-b；当 b=0 时，2b=0， a +b =a-b(4)(-3a)-(4a)=-3a
3、+4a=a当 a 0 时， -3a-4a；当 a 0 时， -3a-4a；当 a=0 时，-3a=-4aa2 0, b20 a2+b2+40,即例 4 解下列不等式(3) -4x -2 (4)mxn(m0)分析：这几道小题是最简形式的不等式，它是解其他不等式的基础，掌握它的关键是先判断两边乘上一个什么数(或除以什么数)，是正数还是负数，容易出错的是两边乘上 (或除以)负数时，忘记改变不等号的方向解：(1)2x-4 x-2 x-15(3)-4x-2(4)mxn(m0)例 5 解下列不等式2(x-1)5(x+2) (去分母)2x-25x+10 (去括号)2x-5x10+2 (移项)-3x12 (合
4、并同类项)x-4 (系数化 1)18-6x+2+2x9x (去括号 )-6x+2x-9x-18-2 (移项)-13x-20 (合并同类项)4(5x+4)-24(1-3x)3(24x-1)-8(1-x)20x+16-24+72x 72x-3-8+8x92x-80x-11+812x-3说明：解一元一次不等式与解一元一次方程的方法基本一样，解一元一次方程中注意的问题同样在解一元一次不等式时也要注意，而且还要注意不等式两边同乘(或同除 )一个负数时，不等号的方向要改变例 6 解下列关于 x 的不等式(1) 2(x-a +b)3(x +a-b)(2)ax-bb(x-a)(a-b0)(4)(m-n)xm-
5、n(m-n0)(5)(a-1)xa-2分析：这是含有字母的不等式，它的解法与不含字母的不等式的解法一样，只是注意不等式两边乘(或除) 含有字母的式子时，先判断它的符号解：(1)2(x-a +b)3(x +a-b)2x-2a+2b3x+3a-3b2x-3x3a-3b+2a-2b-x5a-5b x5b-5a(2)ax-bb(x-a)(a-b0)ax-bbx -abax-bx-ab +b(a-b)xb- ab a-b0 m0 x-2mnxmn+2(4)(m-n)xm-n(m-n0) m-n0当 m-n0 时，x1当 m-n0 时，x1(5)(a-1)xa-2分析：因为 x 的系数(a-1)不知其符号
6、，因此要讨论，有三种可能 a-10；a-10；a-1=0当 a-1=0 即 a=1 时，0xa-2，不等式无解说明：上述讨论方法类似于方程的讨论法，一般情况解不等式 axb。当 a=0 时，不等式变为 0xb若 b0 时，不等式无解若 b0 时，不等式解为全体数例 7 解不等式组分析：先分别解每一个不等式，求出解集，再利用数轴求出解集的公共部分解：解不等式，得x2解不等式，得x3 解集是 x3例 8 解不等式组解：解不等式，得解不等式，得x4例 9 解不等式组解：解不等式，得x1解不等式，得x2 不等式组无解个数的范围与非负整数解分析：“不大于”的含义是“小于或等于”；非负整数解指不等式解集中
7、的正整数解及 0解：设某数为 x，根据题意得6(x-2)+152x+126x-12+152x+12化简得 4x9分析：题目中的已知比较隐蔽，理解题意，把语言叙述用数学式子表达，注意 x 的取值范围是正整数解：根据题意3x-1-8x+120-5x+11 0x 取正整数为 1，2答：当 x 取 1，2 时，代数式的值是正数a 的范围分析：先解关于 x 的两个方程，所得的解用 a 表达的代数式，就可列出关于 a 的不等式解：3(x+4)-4=2a+13x+12-4=2a+13(4a+1)x=4a(3x-4)12ax+3x=12ax-16a根据题意2a-7-16a18a 7求 x 的整数值分析：因为
8、x 同时满足两个不等式，故这两个不等式可列出不等式组解：根据题意，有解不等式，得解不等式，得 x 是正整数 x 取值为 4，5，6，7，8，9，10，11例 14 a 取何正整数时，方程 3(x-4)+a=0 有非负整数解，并把解求出来解：3(x-4)+a=03x-12+a=03x=12-a因为要求的解是非负整数，即要求非负数同时又应是整数，所以 12-a0，即 a12，同时 12-a 又应是 3 的倍数，a 在 1 到 12 中取值使 12-a 是 3 的倍数，故当 a=3 时，方程的解为 3当 a=6 时，方程的解为 2 当 a=9 时，方程的解为 1当 a=12 时，方程的解为 0例 15 有一个两位数，个位数字与十位数字的和是 9，这两位数不大于 63，求这两位数解：设个位数字为 x，则十位数字为 9-x，则这个两位数为 10(9-x)+x根据题意，得：10(9-x)+x6390-10x+x63解得 x3因为 x 是个位数字，9-x 是十位数字，它们都是小于 10 的正整数，可列表得则所求的两位数是 63，54，45，36，27，18
