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1、中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网高考复 习 指 导讲义 第二章 三角、反三角函数一、考纲要求1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数 y=Asin(wx+ )的简
2、图，理解 A、w、 的物理意义。6.会由已知三角函数值求角，并会用符号 arcsinx、arccosx、arctgx 表示。7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。二、知识结构1.角的概念的推广：(1)定义：一条射线 OA 由原来的位置 OA，绕着它的端点 O 按一定方向旋转到另一位置 OB，就形成了角 。其中射线 OA 叫角 的始边，射线 OB 叫角 的终边，O 叫角 的顶点。(2)正角、
3、零角、负角：由始边的旋转方向而定。(3)象限角：由角的终边所在位置确定。第一象限角：2k2k+ ,kZ2第二象限角：2k+ 2k+,kZ第三象限角：2k+2k+ ,kZ3第四象限角：2k+ 2k+2,kZ23(4)终边相同的角：一般地，所有与 角终边相同的角，连同 角在内(而且只有这样的角)，可以表示为 k360+，kZ。(5)特殊角的集合：终边在坐标轴上的角的集合 ，kZ2k终边在一、三象限角平分线上角的集合k+ ，kZ4终边在二、四象限角平分线上角的集合k- ，kZ终边在四个象限角平分线上角的集合k- ，kZ2.弧度制：(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。(2)角度与弧
4、度的互化：中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网1 弧度，1 弧度( )80180(3)两个公式：(R 为圆弧半径， 为圆心角弧度数)。弧长公式：l=R扇形面积公式：S= lR= R 223.周期函数：(1)定义：对于函数 y=f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得 x 取定义域内的任意值时，都有 f(x+T)=f(x)，那么函数 y=f(x)叫做周期函数，其中非零常数 T 叫做这个函数的一个周期，如果 T 中存在一个最小的正数，则这个最小正数叫做这个函数的最小正周期。(2)几个常见结论：如果 T 是函数 y=f(x)的一个周期，那么 kT(kZ，且 k0)也是 y=f(x)的
5、周期。(1)如果 T 是函数 y=f(x)的一个周期，那么 也是 y=f(wx)(w0)的周期。T一个周期函数不一定有最小正周期，如常函数 y=f(x)=c。4.三角函数定义：(1)定义：设 是一个任意大小的角，P(x，y)是角 终边上任意一点，它与原点的距离PO=r,那么角 的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分别是sin= ,cos= ,tg= ,ctg= ,Sec= ,csc= (如图(1)。ryxyrxry(2)六个三角函数值在每个象限的符号：(如图(2)(3)同角三角函数的基本关系式：倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tgctg=1商数关系：tg= ,ctg=cosins
6、inco平方关系：sin 2+cos 2=1,1+tg 2=sec 2,1+ctg 2=csc 2(4)诱导公式： 2k+ - - + 2- -+2正弦 sin -sin sin -sin -sin cos cos余弦 cos cos -cos -cos cos sin -sin正切 tg -tg -tg tg -tg ctg -ctg余切 ctg -ctg -ctg ctg -ctg tg -tg上述公式可以总结为：奇变偶不变，符号看象限。5.已知三角函数值求角6.三角函数的图象和性质：中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网(1)三角函数线：如图(3)，sin=MP,cos=O
7、M,tg=AT,ctg=BS(2)三角函数的图像和性质：函数 y=sinx y=cosx y=tgx y=ctgx图象定义域 R RxxR 且xk+ ,k2ZxxR 且xk,kZ值域-1，1x=2k+ 2时 ymax=1x=2k- 时 ymin=-1-1,1x=2k 时 ymax=1x=2k+ 时ymin=-1R无最大值无最小值R无最大值无最小值周期性 周期为 2 周期为 2 周期为 周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数单调性在2k- ,2k+ 2上都是增函数；在2k+ ,2k+ 上都是减3函数(kZ)在2k-，2k上都是增函数；在2k，2k+上都是减函数(kZ)在(k-，k+ )内
8、2都是增函数(kZ)在(k，k+)内都是减函数(kZ)7.函数 y=Asin(wx+ )的图像：函数 y=Asin(wx+ )的图像可以通过下列两种方式得到：0，图像左移(1)y=sinx y=sin(x+ )0，图像右移 w1，横坐标缩短为原来的 倍w1y=sin(wx+ )0w1，横坐标伸长为原来的 倍A1，纵坐标伸长为原来的 A 倍y=Asin(wx+ )0A1，纵坐标缩短为原来的 A 倍中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网w1,横坐标缩短为原来的 倍w1(2)y=sinx 0w1,横坐标伸长为原来的 倍0，图像左移wy=sin(wx) 0,图像右移A1，纵坐标伸长为原来
9、 A 倍y=sin(wx+ ) y=Asin(wx+ ) 0A1，纵坐标缩短为原来 A 倍8.两角和与差的三角函数：(1)常用公式：两角和与差的公式：sin()sincoscossin，cos()=coscos sinsin，tg()= tg1倍角公式：sin2=2sincos，cos2=cos 2-sin 2=2cos 2-1=1-2sin 2，tg2= .1tg半角公式：sin = ,2coscos = ,1tg = = = .2cossinicos1积化和差公式：sincos= sin(+)+sin(-),1cossin= sin(+)-sin(-)2中国特级教师高考复习方法指导数学复习
10、版中国教育开发网coscos= cos(+)+cos(-),21sinsin=- cos(+)-cos(-)和差化积公式：sin+sin=2sin cos ,2sin-sin=2cos sin cos+cos=2cos cos ,cos-cos=-2sin sin 2万能公式：sin= ，cos= ,tg=21tg212tg21tg(2)各公式间的内在联系：(3)应注意的几个问题：凡使公式中某个式子没有意义的角，都不适合公式。灵活理解各公式间的和差倍半的关系。在半角公式中，根号前的符号由半角所在像限来决定。 常 具 的 变 形 公 式 有 ： cos = ,sin2 = ,cos2 = ,tg
11、 +tg tg( + )i1s1(1-tg tg ).asin+bcos= sin(+ ).(其中 所在位置由 a，b 的符号确定， 的值由 tg =2ba中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网确定)。ab9.解斜三角形：在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称 公式 变形内角和定理 A+B+C= + - ，2A+2B2-2ABCC余弦定理a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosCcosA= bca2cosB= 2cosC abc正弦定理 = = =2RAasinBbCcsinR 为 ABC 的外接圆半径a=2RsinA,b=
12、2RsinB,c=2RsinCsinA= ,sinB= ,sinC=R2Rc2射影定理acosB+bcosA=cacosC+cosA=bbcosC+ccosB=a面积公式S = aha= bhb= chc21S = absinC= acsinB= bcsinA21S = Rc4S = (P= c)-b(Pa)-(a+b+c)S = (a+b+c)r21(r 为 ABC 内切圆半径)sinA= abS2sinB= csinC=10.反三角函数：名称 反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数定义y=sinx(x- , 的2反函数，叫做反正弦函数，记作 x=arsinyy=cosx(x0,)的
13、反函数，叫做反余弦函数，记作 x=arccosyy=tgx(x(- ,2)的反函数，叫做反正切函数，记作x=arctgyy=ctgx(x(0,)的反函数，叫做反余切函数，记作x=arcctgy中国特级教师高考复习方法指导数学复习版中国教育开发网理解arcsinx 表示属于- , 2且正弦值等于 x的角arccosx 表示属于0， ，且余弦值等于 x 的角arctgx 表示属于(- , )，且正切2值等于 x 的角arcctgx 表示属于(0，)且余切值等于 x 的角图像定义域 -1，1 -1，1 (-，+) (-，+)值域 - ， 20， (- ， )2(0，)单调性 在-1，1上是增函数 在
14、-1，1上是减函数 在(-，+)上是增数 在(-，+)上是减函数奇偶性 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=-arccosx arctg(-x)=-arctgx arcctg(-x)=-arcctgx性质周期性 都不是同期函数恒等式sin(arcsinx)=x(x-1，1)arcsin(sinx)=x(x- , )2cos(arccosx)=x(x-1,1) arccos(cosx)=x(x0,)tg(arctgx)=x(xR)arctg(tgx)=x（x(- , )）2ctg(arcctgx)=x(xR)arcctg(ctgx)=x(x(0,)互余恒等式 arcsinx+arccosx= (x-1,1) arctgx+arcctgx= (XR)11.三角方程：(1)最简单三角方程的解集：方程 方程的解集a1 a=1 xx=2k+arcsina,kzsinx=aa1 xx=k+(-1) karcsina,kza1 a
