《有理数的减法》典型例题及解析二例 1 某市冬季的一天，最高气温为 6℃，最低气温为－11℃，这天晚上的天气预报说将有一股冷空气袭击该市，第二天气温将下降 10～12 度，请你利用以上信息，估计第二天该市的最高气温不会高于多少度，最低气温不会低于多少度，以及最高气温与最低气温的差至少为多少度．分析 计算由某一温度下降若干度后变为多少度，应该进行减法计算．“气温下降 10～12 度”的含义是至少下降 10℃，最多下降 12℃．估计第二天的最高气温，应该用当天的最高气温减 10℃，而不能减 12℃，估计最低气温则与此相反．估计第二天最高气温与最低气温的差至少为多少度，应该用下面“式子”进行计算：（当日最高气温－12℃）－（当日最低气温－10℃）．解 6－10＝6＋（－10）＝－（10－6）＝－4－11－12＝（－11）＋（－12）＝－（11＋12）＝－23（6－12）－（－11－10）＝〔6＋（－12）〕－〔－11＋（－10）〕＝〔－（12－6）〕－〔－（11＋10）〕＝－6－（－21）＝6＋21＝21－6＝15答：估计第二天该市最高气温不会高于－4℃，最低气温不会低于－23℃，第二天最高气温与最低气温的差至少为 15℃．说明 本题有一定难度，有两个易错之处：一是每步计算是把哪两个数相减，特别是对“至少”一词的理解要正确．二是正确使用有理数减法及加法的运算法则．这时的运算步骤写得比较详细，读者在作业中也应如此．不要过早地追求简略．例 2 计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；（8） ．分析：按减法法则，把减法转化为加法计算． 解：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；（8） ．说明：1．有理数的减法是有理数加法的逆运算，即减法运算可以转化为加法运算．2．减法运算的步骤是：(1)将减法转化为加法： － ＝ +(－ )；(2)按有理数的加法法则运算．将减法转化为加法时，既改变了运算符号，又改变了减数本身的符号．例 3 判断题：(正确的入 T，错误的入 F)(1) 两个数相减，就是把绝对值相减． ( )(2) 减去一个数，等于加上这个数． ( )(3) 零减去一个数仍得这个数． ( )(4) 若两数的差为 0，则这两数必相等． ( )(5) 两数的差一定小于被减数． ( )(6) 两数的差是正数时，被减数一定大于减数． ( )(7) 两个负数之差一定是负数． ( )(8) 两个数的和一定大于这两个数的差． ( )(9) 任意不同号的两个数的和一定小于它们的差的绝对值． ( )(10) 两个数的差的绝对值一定不小于这两个数的绝对值的差． ( ) 分析：按减法法则和加法法则判断．解：(1) F．异号两数相减时，绝对值应当相加．(2) F．减去一个数，等于加上这个数的相反数．(3) F．零减去一个数，等于这个数的相反数．(4) T．(5) F．当减数为负数或 0 时，它们的差大于或等于被减数．(6) T．当 － ＞0 时，必有 ＞ ．(7) F．由(6)知，若 ， 都是负数，只要 ＞ ，就有 － ＞0，即 － 是正数．(8) F．异号两数之和就不一定大于这两个数的差．例：(+5)+(－2)＝+ 3，(+ 5)－(－2)＝+ 7，(+5)+(－2)＜(+5)－(－2)．(9) T．(10) T．对于任意两个有理数 ， ，| － |≥| |－| |恒成立．例 4 矿井下 A、B、C 三处的标高分别是 A(－37.5m)、B(－129.7m)、C(－73.2m)，哪处最高？哪处最低？最高处与最低处相差多少？分析：比较 A、B、C 三处的高低，就是比较这三个负数的大小，并求出最大数与最小数的差．解：∵－37.5＞－73.2＞－129.7又(－37.5)－(－129.7)＝(－37.5)+(+129.7)＝92.2∴矿井下 A 处最高，B 处最低，A 处与 B 处相差 92.2m．例 5 计算：（1） ；（2） ．分析：按照有理数减法法则，先把减法化成加法，然后按照有理数的加法法则运算．解：（1） （2） 说明：1．一个数减去零比较容易，而零减去一个数，一定要按照法则，写成加上这个数的相反数(千万不要把零丢掉)．2．在有理数范围内减法运算总可以进行，小学遇到的小数减大数不能减的问题解决了．在有理数的减法中，当被减数和减数都是正数，而且被减数大于减数时，即为小学学过的算术减法．探究活动探究目的：1．加深对正负数的概念及加法法则的理解，弄清正负数与小学学过的数的关系；2．培养学生观察、分析、探究的能力以及从具体问题归纳出一般规律的能力；3．培养学生的学习兴趣及钻研精神．探究问题：（1）能否在下面几个数的前面添加正号或负号，使它们的和为 0，如果能，把添加正号或负号后的数写出来：① 1，2，3； ② 1，2，3，4； ③ 1，2，3，4，5； ④ 2，4，6，8，10，12； ⑤ 1，2，3，…，11，12．（2）你能否找出 6 个正整数，在这 6 个数的前面添加正号或负号，使它们的和为 0（希望看到多种结果）．（3）在解决以上问题的过程中，你能总结出一些什么数学规律？参考答案：（1）① ＋1，＋2，－3； －1，－2，＋3．② ＋1，＋4，―2，―3； －1，－4，＋2，＋3．③ 因为 1＋2＋3＋4＋5＝15，和为奇数，所以这 5 个数不能分为和相等的两部分，因此不能在这 5 个数的前面添加正号或负号，使它们的和为 0．④ 因为 2＋4＋6＋8＋10＋12＝42，和为偶数，但 42 的二分之一为 21，在2、4、6、8、10、12 中不管拿出几个偶数，它们的和都不可能等于奇数 21，所以结论是否定的．⑤ 因为 1＋2＋3＋…＋11＋12＝78，所以结论是肯定的．这里只给出 5 个答案：＋12，＋11，＋10，＋6，－9，－8，－7，－5，－4，－3，－2，－1；－12，－11，－10，－6，＋9，＋8，＋7，＋5，＋4，＋3，＋2，＋1；＋12，＋11，＋10，＋5，＋1，－9，－8，－7，－6，－4，－3，－2；＋10，＋9，＋8，＋7，＋5，－12，－11，－6，－4，－3，－2，－1；＋11，＋7，＋6，＋5，＋4，＋3，＋2，＋1，－12，－10，－9，－8．（2）这里只给出 6 个答案：＋2，＋4，＋6，＋8，＋10，－30； ＋1，＋2，＋3，＋4，－5，－5；＋3，＋3，＋3，－3，－3，－3； ＋2，＋4，＋6，－2，－4，－6；＋12，＋10，－7，－6，―5，－4； ＋21，－8，－6，－4，－2，－1．（3）在解决（1）、（2）两问的过程中，可以初步总结出以下规律：① 能够在几个正整数的前面添加正号或负号，使它们的和为 0 的前提是：这几个数能够分为和相等的两部分，也就是这几个数的和一定为偶数．② 几个正整数的和为偶数，不一定能够通过添加正号或负号，使它们的和为 0．关键是看添加了正号或负号的数能否分为绝对值的和相等的两部分．③ 如果几个添加了正号或负号的数的和为 0，那么将这几个数的符号全部变号，和仍为0，即结论是成对出现的．说明：1．在给出（1）中的③的解答的基础上，可以进一步让学生思考 1，2，3，4，5，6 与1，2，3，4，5，6，７可不可以？2．可以将（2）中的“使它们的和为 0”的“0”换成其它正整数，让同学们探讨． 3．在研究了 1，2，3，…，11，12 之后，可以让学有余力的同学思考1，2，3，…，99，100 可不可以？如果将 100 换成更大的自然数，问题又应该怎样研究呢？。