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1、人教版选修 2-1 第三章 3.1- 1 -高二数学同步测试空间向量与立体几何（附答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 50 分） 1在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交点，若= ， = ， = .则下列向量中与 相等的BAa1bcB1向量是（ ）A B2 cba2C Dcba112在下列条件中，使 M 与 A、B 、C 一定共面的是 （ ）A B OO2 OCBAOM2135C D0 03已知平行六面体 中，AB=4，AD=3， ， ，BCDA 9D，则 等于 （ 06
2、A）A85 B C D5085524与向量 平行的一个向量的坐标是 （ (1,32)a）A （ ，1，1） B （1，3，2） C （ ， ，1） D （ ，3，2 ）235已知 A（1，2，6） ， B（1，2，6）O 为坐标原点，则向量 的夹角是（ ,OAB与）A0 B C D326已知空间四边形 ABCD 中， ，点 M 在 OA 上，且cbaA图人教版选修 2-1 第三章 3.1- 2 -OM=2MA，N 为 BC 中点，则 = （ MN）A Bcba213 cba213C D 7设 A、B、C、D 是空间不共面的四点，且满足，则BCD 是000AB，（ ）A钝角三角形 B锐角三角形
3、C直角三角形 D不确定8空间四边形 OABC 中，OB=OC ， AOB=AOC=600，则 cos = （ ）BC，OAA B C D0212219已知 A（1，1，1） 、B（2，2，2） 、C（3，2，4） ，则 ABC 的面积为 （ ）A B C D362610 已知 ，则 的最小值为 （ ),2(),1,(tbta|ba）A B C D555351二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 24 分） 11若 ， ，则 为邻边的平行四边形的面积为 )1,32(a)3,2(bba,12已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB、AC，M、N 分别是对边 OA、BC 的中点，
4、点 G 在线段 MN 上，且 ，现用基组 表示向量 OG，有GCBOA,=x ，则 x、y、z 的值分别为 OOCzByA13已知点 A(1，2，11) 、B(4 ，2，3)，C(6，1，4)，则 ABC 的形状是 人教版选修 2-1 第三章 3.1- 3 -14已知向量 ， ，若 成 1200 的角，则 k= )0,32(a)3,(kbba,三、解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤(共 76 分 )15（12 分）如图，已知正方体 的棱ABCD长为 a，M 为 的中点，点 N 在 上，且，试求 MN 的长|3|AN16 （12 分）如图在
5、空间直角坐标系中 BC=2，原点 O 是 BC 的中点，点 A 的坐标是（，0） ，点 D 在平面 yOz 上，且BDC=90，DCB =30.21,3（1）求向量 的坐标；O（2）设向量 和 的夹角为 ，求 cos 的值ABC17 （12 分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直18 （12 分）四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是一个平行四边形， =2，1，4 ，AB=4，2，0， =1，2，1.ADA（1）求证：PA底面 ABCD；（2）求四棱锥 PABCD 的体积；（3）对于向量 =x1，y 1，z 1， =x2，y 2，z 2， =x3，y 3，z
6、3，定义一种运算：abc（ ） =x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2x 1y3z2x 2y1z3x 3y2z1，试计算bc（ ） 的绝对值的值；说明其与四棱锥 PABCD 体积的关系，并由此猜想AB向量这一运算（ ） 的绝对值的几何意义.ADPO NMD CBACBADzyx图人教版选修 2-1 第三章 3.1- 4 -19 （14 分）如图所示，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，CA =CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N 分别是 A1B1、A 1A 的中点.（1）求 的长；（2）求 cos的值；1,C（3）求证：A 1BC 1M.20 （14 分）如图，已知平行六面体 ABC
7、DA1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形且C 1CB=C 1CD=BCD=60.（1）证明：C 1CBD；（2）假定 CD=2，CC 1= ，记面 C1BD 为 ，面 CBD 为 ，求二面角 BD 的平23面角的余弦值；（3）当 的值为多少时，能使 A1C平面 C1BD？请给出证明.1CD人教版选修 2-1 第三章 3.1- 5 -参考答案一、1A；解析： = + （ ）=)(2111 BCABMc21ba21+ + 评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本a2bc题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.2A；解析：空间的四点 P、A 、B
8、、C 共面只需满足 且,OCzByAxOP既可只有选项 A1zyx3B；解析：只需将 ，运用向量的内即运算即可，D2|CA4C；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式即bab/,05C；解析： ，计算结果为1|cos6B；解析：显然 OACBOMN32)(27B；解析：过点 A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形8D；解析：建立一组基向量 ，再来处理 的值,9D；解析：应用向量的运算，显然 ，ACBACBA,sin|,cos从而得 CBAS,sin|2110C；二、人教版选修 2-1 第三章 3.1- 6 -11 ；解析： ，得 ，可得结果
9、5672|,cosba753,sinba12 ；OCBA311解析： OCBAAOMNMG31612)(2 )(32113直角三角形；解析：利用两点间距离公式得： 222|ACBA14 ；解析： ，得 39 1913|,cos 2kba 39k三、15解：以 D 为原点，建立如图空间直角坐标系因为正方体棱长为 a，所以 B（a，a，0） ，A（a，0，a） ， （0，a，a） ， （0，0，a） CD由于 M 为 的中点，取 中点 O，所以 M（ ， ， ） ，O（ ， ，a） 因为BA22，所以 N 为 的四等分，从而 N 为|3|AN的中点，故 N（ ， ，a） O43根据空间两点距离公式
10、，可得2226|()()()4aMa16解：（1）过 D 作 DEBC ，垂足为 E，在 RtBDC 中,由BDC=90,DCB=30，BC=2，得 BD=1，CD= ， DE=CDsin30= .323OE=OBBE=OBBDcos60=1 .1人教版选修 2-1 第三章 3.1- 7 -D 点坐标为（0， ） ，即向量 ODTX的坐标为0 ， .23,1 23,1（2）依题意： ，0,01,0OCBOA所以 .,2,23,B设向量 和 的夹角为 ，则ADBCcos = .2222 0)3(1)3(0| 1517 证：如图设 ，则 分别为 ，321,rSCBrSA SNMHGSFE, 12r
11、， ， ， ， ，)(213r)(213)(12由条件 EH=GH=MN 得： 231231232 )()()( rrr展开得 3121rr ， ， ，0)(231r1230 （ ）即 SABC123r同理可证 SBAC，SCAB18 （1）证明： =22+4=0，APAB.ABP人教版选修 2-1 第三章 3.1- 8 -又 =4+4+0=0，APAD.ADPAB、AD 是底面 ABCD 上的两条相交直线，AP底面 ABCD.（2）解：设 与 的夹角为 ，则Bcos = 1053461428| AV= | | |sin | |=31DP16493（3）解：|（ ） |=|43248|=48
12、它是四棱锥 PABCD 体积的 3 倍.B猜测：|（ ） |在几何上可表示以 AB、AD、AP 为棱的平行六面体的体A积（或以 AB、 AD、AP 为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.19如图，建立空间直角坐标系 Oxyz.（1）依题意得 B（0，1，0） 、N（1，0，1）| |= .N3)()()(222（2）依题意得 A1（1，0，2） 、B（0，1，0） 、C （0，0，0） 、B1（0，
13、1，2） =1，1，2， =0，1，2， =3，| |= ，| |=C165cos= .1BA301|1CB（3）证明：依题意，得 C1（ 0，0，2） 、M（ ，2） ， =1，1，2， =,BAMC1，0. = +0=0， ，A 1BC 1M.21,A11评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.图人教版选修 2-1 第三章 3.1- 9 -20 （1）证明：设 = ， = ， = ，则| CBaDb1Cca|=| |， = ，b =（ ） = =| | |cos60| | |cos60=0，D1bccbacC 1CBD.（2）解：连 AC、BD，设
14、ACBD =O，连 OC1，则C 1OC 为二面角 BD 的平面角. （ + ） ， （ + ）2)(BOab2abc （ + ） （ + ） C1c= （ 2+2 + 2） 41abac21b= （4+222cos60+4） 2 cos60 2 cos60= .332则| |= ，| |= ，cos C1OC=CO31 |1O（3）解：设 =x，CD=2， 则 CC1= .1Dx2BD平面 AA1C1C，BDA 1C只须求满足： =0 即可.设 = ， = ， = ，A1abc = + + ， = ，cD1a =（ + + ） （ ）= 2+ 2= 6，C1bcabcx4令 6 =0，得 x=1 或 x= （舍去）.24x3n
