高三空间向量与立体几何专练

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1、空间向量与立体几何1如图，棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， ，侧棱 ，棱 AA1与底面所成的角为 ，点 F 为 DC1 的中点.(I)证明：OF/平面 ；(II)求三棱锥 的体积.2如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形PABABCD是菱形， ， ， 是 上任意一ABC63EP点(1) 求证： ；DE(2) 当 面积的最小值是 9 时，证明 平面 3如图，在四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 2 的正方形，PD平面 ABCD，E、F 分别是 PB、AD 的中点，PD=2（1）求证：BCPC；新课标第一网（2）求证：EF/平面 PDC； （3）求三棱锥 BA

2、EF 的体积。4如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M 是 BD 的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。（）求该几何体的体积；（）求证：EM平面 ABC；A BCEDM 4222左视图 俯视图CABDPE 5如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上， ， 交 AC 于点 03BACMACM， 平面 ， ，AC4，EA3，FC1EABCFEA（I）证明：EMBF；（II）求平面 BEF 与平面 ABC 所成的二面角的余弦值6如图，在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD中90ADBC以 ， 平面 ， 1， 3AB，4求证

3、： P；(2)设点 E在棱 上， E，若 平面 ，求 的值.2, 为 的中点.ABOAB（）求证： 平面 ；CD（）求点 到面 的距离E9在三棱锥 P ABC 中， PAC 和 PBC 都是边长为 的等边三角形， AB2， O， D 分别是2AB， PB 的中点(1)求证： OD平面 PAC；(2)求证： PO平面 ABC；(3)求三棱锥 P ABC 的体积PECD11 如图所示,三棱柱 1ABC中, 12ABC,平面 1ABC平面 1,又 1160A, 与 相交于点 O.()求证: O平面 1;()求 1B与平面 1AC所成角的正弦值;12.如图所示，直角梯形 与等腰直角 所在平面互相垂直，

4、 为 的中DEABCFBC点， ， ， .90D2AE（）求证：平面 平面 ;来源B（）求证： 平面 ；AF（）求四面体 的体积.CE13如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M 是 BD 的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。（）求该几何体的体积；（）求证：EM平面 ABC；A BCEDM 4222左视图 俯视图ABCA1C1OB115如图所示，四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA面 ABCD，PA=2,过点A 作 AEPB,AFPC,连接 EF（1）求证：PC面 AEF；（2）若面 AEF 交

5、侧棱 PD 于点 G（图中未标出点 G）,求多面体 PAEFG 的体积。16.如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， 为侧棱 上一点，它的PABCABCDPC正（主）视图和侧（左）视图如图所示（1）证明： 平面 ；D（2）求三棱锥 的体积；AB（3）在 的平分线上确定一点 ，使得 平面 ，并求此时 的长CQP ABDPQ主主主主主主主主主主主主PDCBA2 22 22244418.主主主主主主主主主主主主PDCBA2 22 22244417.已知在四棱锥 中，底面 是边长为 4 的正方形， 是正三角形，APABCDPAD平面 平面 ， 分别是 的中点DGFE,P,（I）求平面 平面 ；（II）若

6、是线段 上一点，求三棱锥 的体积MCEFM来源:Zxxk.Com18.如图，在梯形 中，ABCD， ， ，/AB230AB四边形 为矩形，平面 平面 ，FEFECD3C（）求证： 平面 ；（）设点 为 中点，M求二面角 的余弦值C19.如图，FD 垂直于矩形 ABCD 所在平面，CE/DF， 09EF（）求证：BE/平面 ADF；（）若矩形 ABCD 的一个边 AB = ，EF = ，则另一边 BC 的长为32何值时，三棱锥 F-BDE 的体积为 ？21. 已知正四棱锥 P ABCD 中，底面是边长为 2 的正方形，高为 M 为线段 PC 的中点2() 求证： PA平面 MDB；() N 为

7、AP 的中点，求 CN 与平面 MBD 所成角的正切值22如图，已知直四棱柱 ，底面 为菱形， ，1DCBAA120DAB为线段 的中点， 为线段 的中点 E1CF（）求证： 平面 ；（）当 的比值为多少时， 平面 ，1DAE1并说明理由, 111,EFDBEFDB以 1FDEB以23.如图，棱柱 ABC A1B1C1的侧面 BCC1B1是菱形， B1C A1B.(1)证明：平面 AB1C平面 A1BC1；(2)设 D 是 A1C1上的点，且 A1B平面 B1CD，求 A1D DC1的值A BCDEFA BD CMPN(第 20 题)1F1ECCABCMF（第 20 题）H24.如图，在四棱锥

8、 中， 平面 ，四边形 是菱形，PABCDABCD， ， 是 上任意一点。6AC3E（1）求证： ；（2）当 面积的最小值是 9 时，在线段 上是否存在点 ，使 与平面 所E GEPAB成角的正切值为 2？若存在？求出 的值，若不存在，请说明理由G25.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形，PABCDABCD， ， 是 上任意一点。6AC3E（1）求证： ；（2）当 面积的最小值是 9 时，在线段 上是否存在点 ，使 与平面 所E GEPAB成角的正切值为 2？若存在？求出 的值，若不存在，请说明理由G26.如图：在矩形 ABCD 中， AB5， BC3，沿对角线 BD 把 ABD 折

9、起，使 A 移到 A1点，过点 A1作 A1O平面 BCD，垂足 O 恰好落在 CD 上.(1)求证： BC A1D；(2)求直线 A1B 与平面 BCD 所成角的正弦值.27如图的几何体中， 平面 C， DE平面 AC， D为等边三角形， 2E， F为 的中点（1）求证： /平面 E；（2）求证：平面 平面 .28 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；(2)证明： A1C平面 AB1C1；(3)若 D 是棱 CC1的中点，在棱 AB 上取中点 E，判断 DE 是否平行于平面 AB1C1，并证明你的结论29.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所

10、示BAEDCF(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积 ；(2)证明： A1C平面 AB1C1；(3)若 D 是棱 CC1的中点，在棱 AB 上取中点 E，判断 DE 是否平行于平面 AB1C1，并证明你的结论30.如图，已知矩形 的边 与正方形 所在平面垂直，EFABCD， ， 是线段 的中点。来源:学&科&网 Z&X&X&K2AB1M(1)求异面直线 与直线 所成的角的大小；CAB(2)求多面体 的表面积。D31.如图，四棱锥 P-ABCD 中， PA底面 ABCD， AB AD，点 E 在线段 AD 上，且 CEAB 。（1）求证：CE平面 PAD；（2）若 PA=AB=1， AD=3

11、， CD= 2， CDA=45，求四棱锥 P-ABCD 的体积32.如下图（图 1）等腰梯形 PBCD，A 为 PD 上一点，且ABPD，AB=BC，AD=2BC，沿着 AB 折叠使得二面角 P-AB-D 为的二面角，连结 PC、PD，在 AD 上取一点 E 使得 3AE=ED，连结 PE 得到如下图（图602）的一个几何体（1）求证：平面 PAB 平面 PCD； （2）求 PE 与平面 PBC 所成角的正弦值33.如图，在直三棱柱 中， 90, , 是 的1CBA1ABCEBC中点. （）求异面直线 与 所成的角；E1（）若 为 上一点，且 ，求二面角 的GC1G1G1大小.解法一：（）异面

12、直线 与 所成的角为 . AE136 分（） 所求二面角 为 .G1 5arctn34.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形，PABCDABCD， ， 是 上任意一点。6AC3E（1）求证： ；（2）当 面积的最小值是 9 时，在线段 上是否存在点 ，使 与平面 所E GEPAB成角的正切值为 2？若存在？求出 的值，若不存在，请说明理由GB CP DAA DB CPE图 2PBACDFE35.如图，PA平面 ABCD，ABCD 是矩形，PA=AB=1， ,点 F 是 PB 的中点，点 E 在边 BC3AD上移动。求三棱锥 E-PAD 的体积；当 E 点为 BC 的中点时，试判断 EF

13、 与平面 PAC 的位置关系，并说明理由；证明：无论点 E 在边 BC 的何处，都有 PEAF。36 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，平面 PAD 上平面 ABCD，ABDC，PAD 是等 边三角形，已知 BD =2AD =8，AB =2DC = 。 45（I）设 M 是 PC 上的一点，证明：平面 MBD 平面 PAD； （）求三棱锥 CPAB 的体积答 案1如图，棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， ，侧棱 ，棱 AA1与底面所成的角为 ，点 F 为 DC1 的中点.(I)证明：OF/平面 ；(II)求三棱锥 的体积.解：（I

14、） 四边形 ABCD 为菱形且 ACBDO，O是 BD的中点 . .2 分又点 F 为 1的中点, 在 1DBC中， 1/OF, .4 分平面 1BC， 1平面1BC, /OF平面 .6 分 （II） 四边形 ABCD 为菱形, ACBD, 又 1A，1且 1平面 C ,平面 , B平面 A , 平面 CD平面 1. .8分 在平面 1A内过 作 1MA于 ，则 1ABCD平 面 ，是 与底面所成的角， 60. .10 分在 1RtA中 ,1sin6023A， 故三棱锥 CBD底面 上的高为 ，又 1sin6032BCDS，所以，三棱锥 1的体积 13.3BCDVh .2如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形，PAA， ， 是 上任意一点6AE(1) 求证： ；C(2) 当 面积的最小值是 9 时，证明 平E面 PB.解：（1）证明：连接 ，设 与 相交于点 。 BDACF因为四边形 是菱形，AC所以 。 又因为 平面 ， 平面PBDACPB为 上任意一点， 平面 ，所以 -