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1、2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区
2、设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：11NBA 赛程的分析与评价的数学模型摘要：本文依据 NBA20082009 赛季常规赛的赛程安排表，运用数据统计的原理建立起数学模型，通过大量的数据处理
3、，研究分析了新赛季的赛程安排分别对其 30支球队的影响，并找出了安排同部不同区球队比赛的方法而且还设计出了更为合理的安排方法。问题（1） ，先找出因为赛程安排而影响某一支球队的利弊的因素有比赛对手安排，比赛时间安排和主客场安排。我们利用题中已给出的数据，将这些因素都转换为数字形式，即把整个赛程都转换为便于进行数学处理的数学格式。并以一定的权重综合各因素，使得 30 支球队都得到一个可以初步相互比较的总成绩，总成绩的方差值即为评价赛程利弊的数量指标。方差值越小，赛程安排越合理。问题（2） ，在问题（1）的基础上，提取出所有有火箭队参加的比赛和所有关于火箭队的数据，对每个影响因素进行更为精细的研究
4、分析，在根据其在总成绩中的排名与上赛季排名的差值可得出新赛季赛程安排对火箭队还是偏不利的。然后通过问题（1）中解出的总成绩的排名和上赛季总排名的差值，得出赛程对差值最大的波特兰开拓者队最有利，对差值最小的芝加哥公牛队最不利。问题（3） ，由 NBA20082009 赛季常规赛的赛程可知，每支球队与同区的每一球队赛四场（主客各两场） ，与不同部的每一球队赛两场（主客各一场） ，又由题目前面所述知道每只球队一共比赛 82 场。对于任意一支球队，除去与同区和不同部的球队比赛之后还剩 36 场比赛。这 36 场比赛是与同部不同区的 10 支球队进行的。假设与某支球队赛三场的同部不同区的球队有 M 支，
5、与此球队赛四场的同部不同区的球队有 N支，则必有线性关系 M+N=10，3M+4N=36,根据两者的线性关系可解得与某支球队赛三场的球队数为 4.，且与这支球队比赛的是胜率与此球队相差较小的球队。若有与某球队赛三场的球队的胜率比该球队大很多时，则必然会有一支比此球队胜率小很多的球队与它 赛三场。最后根据题目意思做到均衡，使得同部中的球队与同部不同区的球队之间都有四支不同的球队与他赛 3 场。再综合球队实力与时间安排（主要指尽量不要安排背靠背情况） ，安排出球队的赛三场情况。由于根据赛程直接得出的方法较抽象，实际操作性较低，我组在已有约束的基础之上，根据他们之间的线形关系，运用 Lingo编程清
6、楚的得出了具体的同部不同区球队的对阵方式。关键词：赛程安排；统计；线性规划；LINGO；21. 问题的重述NBA 是全世界篮球迷们最钟爱的赛事之一，姚易加盟以后更是让中国球迷宠爱有加。NBA 共有 30 支球队，西部联盟、东部联盟各 15 支，大致按照地理位置，西部分西南、西北和太平洋 3 个区，东部分东南、中部和大西洋 3 个区，每区 5 支球队。对于20082009 新赛季，常规赛阶段从 2008 年 10 月 29 日（北京时间）直到 2009 年 4 月16 日，在这 5 个多月中共有 1230 场赛事，每支球队要进行 82 场比赛，附件 1 是 30 支球队 20082009 赛季常
7、规赛的赛程表，附件 2 是分部、分区和排名情况（排名是20072008 赛季常规赛的结果） ，见 http:/ 。对于 NBA 这样庞大的赛事，编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情，赛程的安排对球队实力的发挥和战绩有一定的影响，从报刊上经常看到球员、教练和媒体对赛程的抱怨或评论。这个题目主要是要求用数学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价：1）为了分析赛程对某一支球队的利弊，你认为有哪些要考虑的因素，根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。2）按照 1）的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对 30支球队最
8、有利和最不利的球队。3）分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛 4 场（主客各 2 场） ，与不同部的每一球队赛 2 场（主客各 1 场） ，与同部不同区的每一球队有赛 4 场和赛 3 场（2 主 1 客或 2 客 1 主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部 3 个区的球队间保持均衡。试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛 3 场的球队的方法。这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出你认为合适的方法。2 问题的分析2.1 问题（1）的分析NBA 比赛赛程安排对各球队都有很重要的影响。同时由赛程安排所带来的影响因素也是多方面的，并存在一些不确定因素，我们可以不做考虑。根据
9、题目附件给出的数3据种类，我们可以将主要影响因素总结为三大类：和对手之间的实力差距，背靠背场次多少的情况，主客场安排情况。确定好这三大因素之后，首先要将这三个影响因素转化为数学形式。既要依据题中已经给出的信息或数据综合得到一些简单的数值，把这些数值以某种关系或一定的权重的方式结合，使得到一组关于 30 支球队间利弊关系的数值通过这组数值可以比较出赛程安排对不同球队的影响；又要做到赛程安排公平合理即主客场安排均匀、背靠背场次尽可能的少、比赛球队的实力与本队的实力相差较小，我们可以求出这一组数的方差，方差值即为评价赛程利弊的数量指标，通过用前面数据算的数据与之相比较得出利弊结论。2.2 问题（2）
10、的分析要分析赛程安排对火箭队的利弊，就应考虑各因素对火箭队的影响。根据问题（1）的求解结果可知火箭队的总成绩的排名，再结合根据上赛季火箭数据所得的火箭队的自身实力；然后求出获胜率排名与上赛季总排名的差值，差值为正则有利，差值为负则不利。同理分别计算出 30 支球队的两种排名差，差值最大的球队最有利，差值最小的球队最不利。2.3 问题（3）的分析对某一球队而言，通过赛程分析可以看出，它与同区球队每一对要赛 4 场，总共16 场，对不同部不同区的球队每支球队要赛两场总共 30 场；又由前面问题所述一支球队总共要赛 82 场，则剩下的 36 场比赛为次球队与同部不同去的球队的比赛，且赛三场的比赛也诞
11、生在这些比赛中。题目要求要每支球队的主客场数量相同且同部 3 个区的球队间保持均衡，这样的话只要均衡好这 36 场比赛即可。对于 36 场比赛的分配，我们要综合考虑到对战球队的相对于某球队实力的强弱差、比赛时间的分配、主客场的安排情况。对于比赛时间我们可以根据赛事安排出的时间表安排比赛，主客场的情况可以根据主客场次总和相等来安排，关键是要得出各球队间的对阵情况。对于各球队的对阵情况我们可以通过赛三场球队的要求利用他们间的线性关系，利用 Lingo 编程求出。3.模型的假设和符号说明3.1 模型的假设4（1） 假设观众人数，球员伤病，新队员磨合期等不确定因素不作考虑；（2） 假设每支球队的总实力
12、未发生大的变化；（3） 不考虑两场比赛场地间的距离对球队比赛的影响。（4） 球队实力与上赛季相比基本保持不变。（5） 忽略上赛季某些球队因伤病、合同到期对球队实力造成的影响。3.2 符号说明表示第 支球队的总成绩（ ） ；iXi 301i表示总成绩的方差；P表示第 支球队的获胜率（ ） ；iM表示第 支球队的主客场交替着打的次数的归一化值（ ） ；Ni 301i表示第 j 场比赛中主场球队的获胜率（ ） ；jK1 251j表示第 j 场比赛中客场球队的获胜率（ ） ；j2表示第 j 场比赛中主场球队的相对获胜率（ ） ；jY1 j表示第 j 场比赛中客场球队的相对获胜率（ ） ；j2V 表示第
13、 j 场比赛中主场球队的上赛季胜率（ ） ；j1 125jV 表示第 j 场比赛中客场球队的上赛季胜率（ ） ；j2表示第 i 支球队主场获胜率（ ） ；iZ1 301i表示第 i 支球队客场获胜率（ ） ；2表示第 j 场比赛中主场球队背靠背影响率（ ） ；jW1 125j表示第 j 场比赛中客场球队背靠背影响率（ ） ；j2表示第 I 支球队的排名（ ） ；iQ301i表示权重比例系数；a为 0、1 变量，表示与 区的第 个球队对阵；ijBj为 0、1 变量，表示与 区的第 个球队对阵；ijCi为 0、1 变量，表示与 区的第 个球队对阵；ijdj为 0、1 变量，表示与 区的第 个球队对
14、阵；ije i为 0、1 变量，表示与 区的第 个球队对阵；ijf j4.模型的建立与求解4.1 问题（1）的模型建立与求解根据前面的分析，我们采用相对总成绩 作为观察每支球队所受的影响。以 的方iXiX差 作为评价赛程利弊的数量指标,Piii NaMX*)1(*5（1） 对于每一场球赛：根据题中附件 1 所给出的赛程安排表，可以得出共有 1225 场比赛（缺少 5 场） 。对每场比赛都可视为主场球队和客场球队比赛。先以主场球队为例： jijjWZYK11*其中 j 21jjjij V可根据该球队上赛季主场获胜率表示，并由附件 2 中的主场战绩求得，即主场jZ1总胜利数除以总计 42 场；假如
15、赛程安排的很密集，则必然影响球队成绩。整赛季总有 170 天，每只球队要总要打 82 场比赛，170/82=2.07 即平均每天就要打比赛，所以只用考虑接连两天都打比赛的情况，称为背靠背。令 表示该队不处于背靠背比赛的情况，1jW表示该队正处于背靠背比赛的情况；9.0客场球队也做同样处理，就可得到每一支球队每一次参赛的获胜率。（2） 对于每一支球队：先将（1）中算得的每一场比赛主客球队的获胜率进行分类，把每一支球队的所有参赛归为一类（不分主客） 。第 i 队 82 场比赛所有获胜率的期望；ijM还要考虑各支球队主客场安排的连续性。连打主场必然就有连打客场的情况，根据实际情况，我们认为连打主客场是对球队不利的，反之，主客场交替着打对球队有利。先排出每一支球队整个赛季的主客场安排表，共要打 82 场比赛，则需要考虑 81次两场比赛之间是主客连打还是主客交替。统计出每支球队主客场交替着打的次数，然后将其归一
