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1、 柱坐标球坐标下的导热微分方程张卓 1102610126市政学院 建筑换环境与设备工程摘要：利用热力学第一定律，把物体内各点的温度关联起来，建立起温度场的 通用微分方程，亦及导热微分方程。在不同的坐标系中，导热微分方程有不同 的形式。掌握在不同坐标系中导热微分方程的不同形式有利于我们更简单的分析问题。关键词：柱坐标，球坐标，导热微分方程1.柱坐标系下的导热微分方程在 时间内，沿 r 轴方向导入与导处微元体的净热量为dddzrrTdrr 同理，在此时间内，沿 轴方向和沿 z 轴方向，导入与导出微元体的净热量分别为 dddzrTrd 1I=zrzzdzz dzrzrzr zTTrTr 1在 时间内
2、，微元体中内热源的发热量为II= dqzrv在 时间内，微元体中热力学能的增量为dIII= zrTc由能量守恒定律得导入与导出微元体的净热量 + 微元体内热源的发热量 = 微元体中热力学能的增量即I+II=III代入上面三项并化简得 qrvzTTrc 2112.球坐标系下的导热微分方程在 时间内ddrqr sin2drrrTdrr sin2rrr Td sinisindqrrr Td sin1i1则导入与导出微元体的净热量为I= dr rrr TTT sin1sinsin2 在 时间内，微元体中内热源的发热量为dII= drqrvsin2在 时间内，微元体热力学能的增量为III= rTcsi2由 I+III=II，代入化简得 qrrr vTTc sinsi111 2222sin通过上述的推导过程我们可以看出，当分析同一个问题时，我们可以选择多种不同的分析方法。使用不同的分析方法会使我们分析问题的过程不一样，但是不会影响问题分析的结果。遇到不同的情况就要选择不同的分析方法。就上述问题而言，当分析的对象是一般平面物体，选择直角坐标系比较方便。但是当所分析的对象为轴对称物体（圆柱，圆筒或圆球） ，采用柱坐标系或球坐标系更为方便。参考文献【1】. 传热学（第五版） ，章熙明，梅飞鸣，中国建筑工业出版社，2007【2】. 工科数学分析，张宗达，哈尔滨工业大学出版社，2008
