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1、函数讲义1、考试内容映射、函数、函数的单调性、函数的奇偶性；反函数、互为反函数的函数图象间的关系；指数概念的扩充、有理指数幂的运算性质、指数函数；对数、对数的运算性质、对数函数的应用举例。2、主要内容1. 函数的单调性单一函数：（1）设 那么2121,xbax上是增函数；1212()()0xffbaxfff ,)(0)(21在上是减函数.1212()()ffxfxff ,)()(21在(2)设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果fy0fxf，则 为减函数.0)(xf)(x复合函数：如果函数 和 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 也是减函)(fg )(xgf数;如果函数 和 在
2、其对应的定义域上都是减函数,则复合函数uy)(x是增函数.)(xgfy2. 奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数若函数 是偶函数，则 (x)=(-x),若函数 是奇函数，则)(xfy )(xfy(x)=-(-x)注：若函数 是偶函数，则 ；若函数 是偶)(xfy)()(axfxf)(axfy函数，则 .(af对称性对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴是函)xfyR)()(xbfaxf)(xf数 。2bax若 ,则函数 的图象关于点
3、对称;若 ,)()(axff)(xfy)0,2(a)()(axff则函数 为周期为 的周期函数.y23. 多项式函数 的奇偶性10()nnPxxa多项式函数 是奇函数 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.P多项式函数 是偶函数 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.()PxPx23.函数 的图象的对称性yf(1)函数 的图象关于直线 对称()xxa()()fxfa.(2faf(2)函数 的图象关于直线 对称()yx2bx()()fmxfbx.)fbmf4. 两个函数图象的对称性(1)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.()yfx()yfx0xy(2)函数 与函数 的图象关于直线 对称.ab
4、m2abm(3)函数 和 的图象关于直线 y=x 对称.)(xfy)(1xf25.若将函数 的图象右移 、上移 个单位，得到函数 的图 baxfy)(象；若将曲线 的图象右移 、上移 个单位，得到曲线 的0),(yxfab0,图象.5. 互为反函数的两个函数的关系.abfaf)()(127.若函数 存在反函数,则其反函数为 ,并不是kxy )(1bxfky,而函数 是 的反函数.)(1fy )(1bkxf )(xf6. 几个常见的函数方程(1)正比例函数 , .()fxc()(),(1fyfxyfc(2)指数函数 , .a0a(3)对数函数 , .()logfx()(),(,1)fxyfyf(
5、4)幂函数 , .,1(5)余弦函数 ,正弦函数 ， ，()csfx()singx()()()fxyfgxy. 0()1,limxgf7. 几个函数方程的周期(约定 a0)（1） ，则 的周期 T=a；)()af)(xf（2） ，0x或 ，)()1(faf或 ,()fxf0)x或 ,则 的周期 T=2a；21(,()012fafx)(xf(3) ，则 的周期 T=3a；)(1)(fxff f(4) 且 ，则)()(2121ff1212(),0|)fafxxa的周期 T=4a；)xf(5) ()()3(4)fxaffxaf,则 的周期 T=5a；)2x(6) ，则 的周期 T=6a.)()(xf
6、xf)(f8. 分数指数幂 (1) （ ，且 ）.1mna0,anN1(2) （ ，且 ）.nm,9. 根式的性质（1） .()na（2）当 为奇数时， ；na当 为偶数时， .n,0|10. 有理指数幂的运算性质(1) .(0,)rsrsaQ(2) .()rsr(3) .(,)rrbbr注：若 a0，p 是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式.logbaN(0,1)aN34.对数的换底公式 ( ,且 , ,且 , ).llogma 0m10N推论 ( ,且 , ,且 , , ).llmnaaban1n011. 对
7、数的四则运算法则若 a0，a1，M0，N0，则(1) ;log()llogaaN(2) ;a(3) .ll()naR注：设函数 ,记 .若 的定义域为)0(log)(2acbxaxfm acb42)(xf,则 ，且 ;若 的值域为 ,则 ，且 .对于 的情形,需要R0a)fR0单独检验.12. 对数换底不等式及其推论若 , , , ,则函数0ab0x1alog()axyb(1)当 时,在 和 上 为增函数.(,),)(2)(2)当 时,在 和 上 为减函数.(l()axy推论:设 ， ， ，且 ，则1nm0pa1（1） .log()logpmn（2） .2aa三、主要问题1、定义域普通函数1函
8、数 的定义域是 R，则 k 的取值范围是（ ）。A、k0 或 k1B、k1C、0k1D、0y 时，有 f(x)f(y)，如果f(x)+f(x-3)2，求 x 的取值范围4、奇偶性与周期性1、已知函数 f（ x） ax2 bx3 a b 是偶函数，且其定义域为 a1，2 a ，则（）A ， b0B a1， b0 C a1， b0D a3， b03a2、若 ， g（ x）都是奇函数， 在（0，）上有最大值 5，)()()(xgxf则 f（ x）在（，0）上有（）A最小值5B最大值5C最小值1D最大值33、 f（ x）是定义在（，5 5，）上的奇函数，且 f（ x）在5，）上单调递减，试判断 f（
9、x）在（，5上的单调性，并用定义给予证明4、设函数 y f（ x） （ x R 且 x0）对任意非零实数 x1、 x2满足 f（ x1x2） f（ x1） f（ x2） ，求证 f（ x）是偶函数5、对称性与周期性1、已知定义在 上的奇函数 满足 ，则 的值为 R()fx(2)(ffx(6)f.A.B0.C1.D2、设 是定义在 上以 为周期的函数， 在 内单调递减，()fx60,3且 的图像关于直线 对称，则下面正确的结论是 ()yfx3x .A1.53.(6.5)f.B(5)(1.6.5)fffC61D3(3、已知函数 是以 为周期的周期函数，且当 时， ，则()fx20,x)21xf的值
10、为 2(log10f4、设 在 R 上是奇函数，当 x0 时， = ，则 （-2)=_()f325、已知定义域为 R 的偶函数 满足 （x+1)=(x-1),x 0,1时， =x，则()fx ()fx= 的实数解的个数有()fxl36、抽象函数1. 已知函数 y = f (x)(xR，x0)对任意的非零实数 1x， 2，恒有 f( 1x2)=f( 1)+f( 2x),试判断 f(x)的奇偶性。2、设函数 对任意 ,都有 , 12,01212()()ff(f已知 ，求 , 的值.(1)f()f43、 设 f（x）是定义 R 在上的函数，对任意 x，yR，有 f（x+y）+f（x-y）=2f（x）
11、f（y）且 f（0）0.（1）求证 f（0）=1；（2）求证：y=f（x）为偶函数.4、已知函数 f（ x）对任意实数 x， y，均有 f（ x y） f（ x） f（ y），且当 x0 时，f（ x）0， f（1）2，求 f（ x）在区间2，1上的值域。5、函数 ()对于 x0 有意义，且满足条件 ()1,()(),f是 减函数。证明： 0f；（2）若 ()3f成立，求 x 的取值范围。6、函数图象1、3、.函数 y1 的图象是( )x已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图像如图，求 b 的范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 7、指数函数与对数函数的考查1、以
12、下四个数中的最大者是（ ）A （ln2） 2 B ln（ln2） Cln Dln222、设 是奇函数，则使 的 的取值范围是（ ）()lg)1fxa()0fxA B C D,0(0,1,(,0)(1,)3、函数 的图象和函数 的图象的交点个数是（ ,342xxf xg2lo）A4 B3 C2 D14、函数 的图象大致是（ ）|1|lnxey 21oy x 5、将函数 的图象向左平移一个单位，得到图象 C1，再将 C1 向上平移一个2logyx单位得到图象 C2，则 C2 的解析式为_。6、若关于 的方程 有实根，则实数 的取值范围是_。xmxx|1|1547、根据函数 的图象判断：当实数 为何
13、值时，方程 无解？有一解？|y mx|12|有两解？8、函数图象的变换1、要得到函数 ysin(2x )的图象，只需将函数 ysin2x 的图象( )3(A)向左平移 个单位 (B)向右平移 个单位3 3(C)向左平移 个单位 (D)向右平移 个单位6 62、设函数 f(x)1 (-1x0)，则函数 yf 1 (x)的图象是( )1 x23、将 y2 x 的图象( )(A)先向左平行移动 1 个单位 (B)先向右平行移动 1 个单位(C)先向上平行移动 1 个单位 (D)先向下平行移动 1 个单位再作关于直线 yx 对称的图象，可得到 ylog 2(x+1)的图象。4、已知函数 yf(x)的图
14、象如图 2(甲)所示，yg(x)的图象如图 2(乙)所示，则函数y=f(x)g(x)的图象可能是图 3 中的 ( ) 5、已知图 4(1)中的图象对应的函数为 yf(x)，则图 4(2)中的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是( ) (A)yf(|x|) (B)y=|f(x)| (C)yf(-|x|) (D)y-f(|x|)6、：已知函数 f(x)ax 3+bx2+cx+d 的图象如图 5，则 ( ) (A)b(-，0)(B)b(0 ，1) (C)b(1，2) (D)b(2， +)9、函数综合大题1、已知 的反函数为 ， .12(xf )(1xf )13(log4x(1)若 ，求 的取值范围 D；)1g(2)设函数 ，当 时，求函数 的值域.(1fHH2、设二次函数 满足下列条件：2)(,)fxabcaR当 R 时， 的最小值为 0，且 f ( 1)=f ( 1) 成立；x当 (0,5)时，
