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1、1、直角三角形的性质： 1、两个锐角互余 C=90 A+B=902、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。C=90A=30 BC= AB 213、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半ACB=90 D 为 AB的中点 CD= AB=BD=AD 214、勾股定理： ： 还可以变形为 ，22cba2abc22acb22bc5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项ACB=90CDAB BDAC226、常用关系式由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC二、锐角三角函数1、锐角三角函数定义：在 中，C=90
2、， 、 、 分别是A、B、C 的RTABCabc对边，则：sinaAc的 对 边斜 边 os的 邻 边斜 边tab的 对 边的 邻 边 tAba的 邻 边的 对 边常用变形： ； 等，由同学们自行归纳sincA:sia2、锐角三角函数的有关性质：（1 ）当 0A90时， ； ； ；010cos1Atan0cotA（2 ）在 0 90之间，正弦、正切（ 、 ）的值，随角度的增大而增大；余inta弦、余切（ 、 ）的值，随角度的增大而减小。costAC BD3、同角三角函数的关系：22sincos1Atancot1A:sintacoAcostinA常用变形： （用定义证明，易得，同2is2si学自
3、行完成）4、正弦与余弦，正切与余切的转换关系：如图 1，由定义可得： 同理可得：sincos(90)aABAsinco(90)Asintacot(90)Ata5、特殊角的三角函数值：三角函数 0 30 45 60 90sincota-二、有关三角函数计算（计算器、特殊角）三、解直角三角形已知的一些边、角 求 另一些边、角1、解直角三角形的基本类型及其解法总结：类型 已知条件 解法两直角边 、ab， ，2cabtnaAb90BA两边直角边 ，斜边 ， ，sic直角边 ，锐角 A ， ，90Botasina一边一锐角 斜边 ，锐角 Ac， ，Asi:cbA:例 1：在 RtABC 中,C=Rt,a
4、,b,c 是ABC 的三边,a=6,B=30求A,b,c.603021BCA45222BCA在 RtABC 中,C=Rt,a,b,c 是A,B,C 的对边,a=5,b= ,求 c,A,B.35例 2:在 RtABC 中,C=Rt,a,b,c 是三边,且 ,a=6.求 c.83ctgA在 RtABC 中,C=Rt,B=30,a-b=2.求 c.在 RtABC 中,B=45,C=60,BC= .求 SABC 及 ABC 的周长.26在 RtABC 中,C=Rt, ,A 的平分线 AD的长是 解直角三角58AC3156形.在 RtABC 中,C=90, , .D是 AC上一点DBC=30.310B5
5、cosABC求 BC,AD.2、解直角三角形的实际运用(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰:ihll(2)坡面的铅直高度 和水平宽度 的比叫做坡度(坡比)。用字母 表示，即 。坡hl iil度一般写成 的形式，如 等。把坡面与水平面的夹角记作 (叫做坡角)，那么1:m1:5i。tanhil(3)从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：45、135、225。(4)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：
6、北偏东 30（东北方向） ， 南偏东 45（东南方向） ，南偏西 60（西南方向） ， 北偏西 60（西北方向） 。补充：在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。有关公式（1） = =sin2SabC1sicAsin2aB（2）Rt面积公式： Sbh:（3）结论：直角三角形斜边上的高 c（4）测底部不可到达物体的高度如右图，在 RtABP 中，BP=xcot在 RtAQB 中，BQ=xcotBQBP=a，即 xcot-xcot=a解直角三角形的知识的应用，可以解决：(1)测量物体高度(2)有关航行问题(3)计算坝体或边路的坡度等问题3、三角形的面积公式：已知 中，A
7、、B、C 的对应边分别是 、 、 ，如图 2，过点 A作ABCabcADBC 于点 D。在 中， ，即： （RTABsinADBsinB:）sinc:（其中：B 为 、 的夹角）11ii22ABCSacac:ac同理可得： （三角形的面积公式）ssnsbbC由面积公式可得： iicBcA两边同时除于 得： 12ssiniaaB同理可得，正弦公式： inibC余弦定理如图 2： ， ，在直角三角形 ABD 中，由sAD:cosBDab:勾股定理得：整理得：22 2(sin)()Bcb:ABPQxa DA BC22222sincos(sincos)coscbCabCbCab整理得到余弦定理： （C 为b、 的夹角）a同理可得：（余弦定理及其变形）22cosbA22cosbcaA22aB22Bc22coscbC22cosabC四、三角函数与相似：如图 5，可以利用相似进行求解，也可以利用三角函数进行求解：3.2cos610ADBxECsinDEBCA如图 6， tan48备注：三角函数，在解决直角三角形的一些问题中，有时候会比相似书写更简洁一些五、三角函数与一次函数设一次函数 经过点 与 那么我们可以列出方程组：ykxb1(,)Axy2(,)B则可以得到： 如下图所示：1221ktank y2-1x2-1y2y1 x2x1B(x2,y)A(x1,y)O
