解析几何问题的题型与方法

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1、第 1720 课时 解析几何问题的题型与方法一复习目标：1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3 理解“曲线的

2、方程” 、 “方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4掌握圆的标准方程： （r0） ，明确方程中各字母的几何22)()(byax意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程： ，知道该方程表示圆的FEyDx充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程 （ 为参数） ，明确各字母的意义，掌握直线与圆的cosinxry位置关系的判定方法.5正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；

3、记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握 a、b、c、p、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.二考试要求：(一)直线和圆的方程1理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件

4、熟练地求出直线方程。2掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。3了解二元一次不等式表示平面区域。4了解线性规划的意义，并会简单的应用。5了解解析几何的基本思想，了解坐标法。6掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。(二) 圆锥曲线方程1掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。2掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。3掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。4了解圆锥曲线的初步应用。宁乡县第二中学 2004-2005 学年度高三数学教案 任教班级:C146-147119三教

5、学过程：（）基础知识详析高考解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题) ，共计 30 分左右，考查的知识点约为 20 个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化。(一)直线的方程1.点斜式： ；2. 截距式： ；)(11xkybkxy3.两点式： ；4. 截距式： ；22 1a5.一般式： ，其中 A、B 不同时为

6、 0.0CBAx(二)两条直线的位置关系两条直线 ， 有三种位置关系：平行（没有公共点） ；相交（有且只有一个公共点） ；1l2重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.设直线 ： = + ，直线 ： = + ，则ykx1b2ly2kxb 的充要条件是 = ，且 = ； 的充要条件是 =-1.1l2 11l1k2(三)线性规划问题1线性规划问题涉及如下概念：存在一定的限制条件，这些约束条件如果由 x、y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.都有一个目标要求，就是要求依赖于 x、y 的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数

7、是 x、y 的一次解析式，就称为线性目标函数.求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解.所有可行解组成的集合，叫做可行域.使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解.2线性规划问题有以下基本定理： 一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形. 凸多边形的顶点个数是有限的. 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到.3.线性规划问题一般用图解法.(四)圆的有关问题1.圆的标准方程（r0） ，称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a，b） ，半径为 r.22)(byax特别地

8、，当圆心在原点（0，0） ，半径为 r 时，圆的方程为 .22ryx2.圆的一般方程（ 0）称为圆的一般方程，2FEDxFE42其圆心坐标为（ ， ） ，半径为 .2Dr12120120当 =0 时，方程表示一个点（ ， ） ；FED422DE当 0 时，方程不表示任何图形.3.圆的参数方程圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：（ 为参数）22ryxcosinxry（ 为参数）2)()(bacosinarb(五)椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点 、 的距离的和大于|1F21F|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于| |，则这样的点不存在；若距离之和等2F12于

9、| |，则动点的轨迹是线段 .1 1F22.椭圆的标准方程： （ 0） ， （ 0）.2byaxab2bxyab3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果 项的分母2x大于 项的分母，则椭圆的焦点在 x 轴上，反之，焦点在 y 轴上.2y4.求椭圆的标准方程的方法： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(六)椭圆的简单几何性质1.椭圆的几何性质：设椭圆方程为 （ 0）.12byaxab 范围： -axa，-bxb，所以椭圆位于直线 x= 和 y= 所围成的矩形里. 对称性：分别关于 x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的

10、中心. 顶点：有四个 （-a，0） 、 （a，0） （0，-b） 、 （0，b）.1A21B2线段 、 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b，a 和 b12B2分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁ace平程度.0e1.e 越接近于 1 时，椭圆越扁；反之，e 越接近于 0 时，椭圆就越接近于圆.2.椭圆的第二定义 定义：平面内动点 M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e1时，这个动点的轨迹是椭圆.ac 准线：根据椭圆的对称性， （ 0）的

11、准线有两条，它们的方12byaxab宁乡县第二中学 2004-2005 学年度高三数学教案 任教班级:C146-147121程为 .对于椭圆 （ 0）的准线方程，只要把 x 换成 y 就可以cax212bxayab了，即 .y3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设 （-c，0） ， （c，0）分别为椭圆 （ 0）的左、右两焦点，1F2 12byaxabM（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为 ， .exMFexaF2椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素 a、b、c、e 中有 = + 、 两个关系，因此确定椭圆22ca的标

12、准方程只需两个独立条件.(七)椭圆的参数方程椭圆 （ 0）的参数方程为 （ 为参数）.12byax osinxyb说明 这里参数 叫做椭圆的离心角.椭圆上点 P 的离心角 与直线 OP 的倾斜角 不同： ；tant 椭圆的参数方程可以由方程 与三角恒等式 相比较12byx 1sinco22而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.(八)双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于常数 2a（小于|1F2|）的动点 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件 2a| |，这一条1F2M1F2件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若 2a=| |，则

13、动点的轨迹是两12条射线；若 2a| |，则无轨迹.1F2若 时，动点 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若 时，1 1M2轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2. 双曲线的标准方程： 和 （a0，b0）.这里12byax12x，其中| |=2c.要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.22acb1F23.双曲线的标准方程判别方法是：如果 项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果项的系数是正数，则焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那y样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，

14、应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(九)双曲线的简单几何性质1221221.双曲线 的实轴长为 2a，虚轴长为 2b，离心率 1，离心率 e 越12byax ace大，双曲线的开口越大.2. 双曲线 的渐近线方程为 或表示为 .若已知双曲2 xaby02by线的渐近线方程是 ，即 ，那么双曲线的方程具有以下形式：xnmy0n，其中 k 是一个不为零的常数.nxm223.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于 1 的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线 ，它的焦点坐标是12byax（-c，0）和（c，0） ，

15、与它们对应的准线方程分别是 和 .c在双曲线中，a、b、c、e 四个元素间有 与 的关系，与椭圆一样确e22定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.(十)抛物线的标准方程和几何性质1抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点 F 叫抛物线的焦点，这条定直线 l 叫抛物线的准线。需强调的是，点 F 不在直线 l 上，否则轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线，而不是抛物线。2抛物线的方程有四种类型：、 、 、 .pxypxy2y2pyx2对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的负方向。3抛物线的几何性质，以标准方程 y2=2px 为例（1）范围：x0；（2）对称轴：对称轴为 y=0，由方程和图像均可以看出；（3）顶点：O（0，0） ，注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心） ；（4）离心率：e=1，由于 e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的 p 决定的；宁乡县第二中学 2004-2005 学年度高三数学教案 任教班级:C146-147123（5）准线方程 ；2px（6）焦半径公式：抛物线上一点 P（x1，y1）