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1、简谈求函数的单调性的几种基本方法威信一中 鲁家武摘要：函数贯穿高中数学的各个章节，单调性是函数的一个重要性质，求函数的单调性是近几年高考的必考内容之一，考察的方式灵活多样，既有函数单调性的判断、证明和求单调区间，又有利用单调性解不等式、比较大小和求最值等。尤其是函数的单调性与最值或极值的综合应用能较好地考查转化与化归的思想及逻辑推理能力，是高考的一个重要考查方向。本文主要以定义法、导数法、基本初等函数法，复合函数法，图象法这五种方法简谈求函数的单调性。关键词：函数；单调性；单调区间一、 定义法根据单调函数的定义以及定义法的五个基本步骤求函数的单调性。例 1：讨论函数 f(x)= ( 0)在（-
2、1,1）上的单调性。12xa解：设-1x 1x 21 则 f(x1)f(x 2)= -12xa2= =)(22121xaax )(2211x-1x 1x 21 x 2x 10, x1x210, （x 121）（x 221）0 又 0，f(x 1)f(x 2)0，函数 f(x) 在（-a1,1）上为减函数。例 2:已知函数 f(x)的定义域是（0，+） ，当 x1 时，f(x)0 且 f(x y)=f(x)+f(y),f(1)=0.求 f(x)在定义域上的单调性解：令 y= ,得 f(1)=f(x)+f( )=0，故 f( )=-f(x)。任取x1x1x1x1,x2 （0 ，+） ，且 x1x
3、2 ， 则 f(x2)-f(x1)= f(x2)+f( )=f(1x)。12由于 1，故 f( )0，从而 f(x2)f(x 1)。12x12x所以 f(x)在（0，+）上是增函数。二、导数法利用单调性与导数的关系求函数的单调性。在区间（ ,b）内，若 f(x) 0，则 f(x)在（ ,b）内单调a a递增；若 f(x) =0，则 f(x)在（ ,b）内是常函数；若 f(x) a0，则 f(x)在（ ,b）内单调递减。例 3:讨论 f(x)= lnx x1 的单调性。a解：函数的定义域为（0，+）f(x) = =x1当 0 时，f(x) 0，函数 f(x)在（0，+）上单调递增a当 0 时，由
4、 f(x) = 0，得 0x ，所以 f(x)xa1a1在（0， ）上单调递增，在（ ，+）上单调递减。a1a1注意：根据函数单调性的定义知，函数的单调区间是定义域的子区间，因此求函数的单调区间（或单调性）时，如果函数的定义域不是实数集 R 时，首先要求出函数的定义域，以免在求解过程中求出的单调区间超出了函数定义域的范围。对含有参数的函数式，在确定单调性时，要注意分类讨论。例 4：已知函数 f(x)=x-klnx,常数 k0。若 x=1 是函数 f(x)的一个极值点，求 f(x)的单调区间。解：定义域为（0，+） ，f(x)=1- ，因为 x=1 是函数的一x个极值点，所以 f(1)=0，所以
5、 k=1,经检验 k=1 为所求，f(x)=1- 令 f(x) 0，则 x(1, +） ，函数 f(x)的单调增区间x1是(1, +） ，单调减区间是（0，1）三、基本初等函数法若所给函数是基本初等函数，则可直接根据已学过的基本初等函数的单调性求解；若函数是由基本初等函数的和或者差构成的函数，则有时可根据增+增为增，增减为增，减+减为减，减增为减也可求解。例5：下列四个函数中，在（0,1）上为增函数的是（ ）A.y=sinx B.y= 0.6xC.y=( )x D.y=(x- )2 211解：y=sinx在- ， 上是增函数，y=sinx在（0,1）上,2是增函数。例6：判断函数f(x)= x
6、 ( 0)在（0，+）上的单调aa性。解：g(x)= ( 0)在（0，+）上单调递减,h(x)=x xa在（0，+）上单调递增 f(x)= x ( 0)在（0，+）上单调递减aa四、复合函数法利用复合函数的单调性满足“同增异减”规律求复合函数的单调性。例:7：求函数 y= （ 0 且 1）的单调区间a21xa解：y= 可看作 y= ，u=1-x 两个函数复合而成，且 u=1-x21xu2在（-，0）上递增，在（0，+）上递减2当 1 时，y= 递增，此时函数 y= 在（-，0）上增函aau a21x数，在（0，+）上减函数当 0 1 时，y= 递减u此时函数 y= （-，0）上减函数，在（0，
7、+）上增函数。a21x例 8：若函数 f(x)= (2x2+x) ( 0, 1)在区间aaa（0， ）内恒有 f(x)0,则 f(x)的单调递增区间为（ ）21A.(-,- ) B.(- ,+)441C.(0, +) C.(-,- )2解：设 u=2x +x, u02x(-,- )(0,+)1当 x(0, )时，u(0,1)2y= u恒大于 0，且当 0 1 为减函数，故只需求出aau=2x +x 的减区间，即(-,- )。2 21五、图象法如果给出了函数的图象，或者函数的图象易作出，可直接根据增函数和减函数的图象特点，即：沿 x 轴从左往右上升图象对应的区间为函数的增区间，下降图象对应的区间
8、为函数的减区间，写出函数的单调区间。例 9：函数 f(x)= ,g(x)=x f(x-1),则函数 g(x)的递减0,1,x2区间是_ 。 1 .-11-1 OyX解：由条件知 g(x)= 1,0,22x作出 g(x)的图象，由图可知，g(x)的递减区间是（0,1） 。例 10：下列区间中，函数 f(x)= 在其上为增函数的是（ )2ln(x）A.(-,1 B.-1， 34C. 0， ) D.1，2)23解:由 2-x0,得 x2,即函数定义域是(-，2)。作出函数 y=图象，再将其向右平移 2 个单位，即函数 f(x)= 的图)ln( )2ln(x象，由图象知 f(x)在1，2)上为增函数,
9、故选 D。例 11：如图是 y=f(x)的导函数的图象，现有四种说法：(1)f(x)在（-3,1）上是增函数；(2)x=-1 是 f(x)的极小值点；1-10yx 1-10yx(3)f(x)在（2,4）上是减函数，在（-1,2）上是增函数；(4)x=2 是 f(x)的极小值点；以上正确的序号为 。解：当 x(-3,-1)时，f(x)0，即 f(x)在(-3,-1)上是减函数， 故（1）错误；对（2） ，当 x-1 时，f(x)0，当 x-1 时，f(x) 0，故 x=-1 是 f(x)的极小值点，故 2正确，同理可知（4）错误；当 x(2,4)时，f(x)0，f(x)是减函数； 当 x(-1,2)时, f (x) 0，f(x)是增函数，故（3）正确。虽然求函数单调性的方法众多，但是对于任何一个求单调性的题不是每种方法都实用，要具体问题具体分析，有的题可能只有一种解法，有的题可能有多种解法，就需要我们在平时的学习过程中21-1-24321-1-2-3-4 OyX去不断加以总结和归纳，寻求快速准确地找到解决此类问题的方法。参考文献：1杜素梅.深层剖析用导数处理单调性问题J.考试（教研版） ，2006.112黄思瑞，杨志英.高考题中常见函数单调性的题型J. 数理化学习（高中版） ，2006.05
