《数列通项公式及其求和公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列通项公式及其求和公式（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、数列通项公式的求法（1）已知数列的前 项和 ,求通项 ；nnSna（2）数学归纳法：先猜后证;（3）叠加法(迭加法)： ；1221()()()aa叠乘法(迭乘法)： .123321ann【叠加法主要应用于数列 满足 ，其中 是等差数列或等比数列的条件下，可把 这个式子变()f()fn成 ，代入各项 ，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出 ，从而求出 】1()naf nans（4）构造法(待定系数法): 形如 、 （ 为常数）的递推数列；1nakb1nakb,【用构造法求数列的通项或前 项和：所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知
2、的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的通 项或前 项和.】n（5）涉及递推公式的问题，常借助于 “迭代法”解决.【根据递 推公式求通项公式的常见类型】 型，其中 是可以和数列，用累加法求通项公式，即1+=,()naf()fn 1(1)2()naffa类型 1：思路（叠加法） ，依次 类推有： 、 、 ，1naf 12()naf23nf21()f将各式叠加并整理得 ，即1()nnif1nif例题 1：已知 ， ，求1a1nna解： ，依次 类推有：n 122321nnaaa、 、 将各式叠加并整理得 ，12nnia121()ii类型 2： 1()nnapf思路（转化法） ，递推式两边同时除以
3、 得 ，我们令 ，那么问题就可以1 np1()nnafpnabp转化为类型一进行求解了.例题： 已知 ， ，求12a1142nnan解： ，则 ，14n 1n142nna令 ，则 ，依此 类推有 、 、nab12n112nnb2231nnb21b各式叠加得 ，即12nni12212n niii 44nnnnab 型，其中 是可以求积数列，用累乘法求通项公式，即1+=,()naf()fn 1(1)2()nafffa类型 3： na思路（叠乘法）： ，依次 类推有： 、 、 ，1()nf 12()naf23()naf21()f将各式叠乘并整理得 ，即 1()2(3)aff)(ff(1)()nff1
4、)(fnfa例题：已知 ， ，求 .11nnna解： na ，依次类推有： 、 、 、1n 12na231na324a21a将各式叠乘并整理得 ，即 11nna4331nna214()n 型（其中 是常数），可以采用待定系数法、换元法求通项公式，即1+=,nnapqpq、，设 ，则 .利用的方法求出 进而求出1()1nn1nba1nbpnbna类型 4： （其中 是常数）qpap、当 时，数列 是等差数列；当 时，数列 是等比数列；n0,qna当 且 时，可以将 递推关系转化为 ,则数列 是以 为首01,011nnqp1nqap1qap项， 为公比的等比数列.p思路（构造法）：设 ，即 得 ，
5、数列 是以 为首项、 为公1nnappqpn1比的等比数列，则 ，即11nnqa11nn qap例题：已知数列 满足 且 ，求数列 的通项公式na123n1n解：设 ，即1n 数列 是以 为首项、 为公比的等比数列3na142 ，即42n 13na 型,其中 是常数且 ， ,设 ，则 即化为.1+=,nnapqpq、 0,1q1napqnab1nnpbq类型 5： r思路（构造法）： ，设 ，则 ，从而解得1nnapq1naq1npqrrpq那么 是以 为首项， 为公比的等比数列nrqp1rqpp例题：已知 ， ，求 。1a12nnana解： 设 ，则 ，解得 ，12nn12n123是以 为首
6、项， 为公比的等比数列，即13na62 126nna23na 型，其中 是常数且 ，可以采用等式两边取倒数.+1nnpqpq、 0na类型 6： 1(0)nncad思路（转化法）：对递推式两边取倒数得 ，那么 ，令 ，这样，问题就可以进1nnpadc1nndpca1nba行求解了.例题：已知 ， ，求14a12nnan解： 对递 推式左右两边取倒数得 即 ，12nn12nna令 则 .设 ，即1nba12n 1nnb数列 是以 为首项、 为公比的等比数列，则 ，即 ，n742172nnb217nb127na类型 7： 1(00)nnabcadbc、思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为 即
7、.当特征方程有两个相等实根axbd2()0caxb时，数列 即 为等差数列，我们可设 （ 为待定系数，可12x1na12nc12nndac利用 、 求得）；当特征方程有两个不等 实根 、 时，数列 是以 为首项的等比数列，我 们可设1a2 1x22nax12x（ 为待定系数，可利用已知其值的项间接求得）；当特征方程的根为虚根时数列 通1122nnx na项的讨论方法与上同理，此处暂 不作讨论.例题：已知 ， （ ），求1a1432nana解： 当 时，递推式对应的特征方程为 即 ，解得 、2n432x30x1x23数列 是以 为首项的等比数列13na12x设 ，由 得 则 ，1na23，即 ，
8、从而 ，313nna13na1,23,na二、数列求和的几种常见方法数列问题中蕴涵着丰富的数学思想方法，是高考用来考查 考生对数学思想方法理解程度的良好素材，是 历年高考的一大热点，在高考命题中，多以与不等式的证明或求解相 结合的形式出现，一般数列的求和，主要是将其 转化为等差数列或等比数列的求和问题，因此，我们有必要对数列求和的各种方法进行系统探讨.1、公式求和法通过分析判断并证明一个数列是等差数列或等比数列后，可直接利用等差、等比数列的求和公式求和，或者利用前 个正整数和的计算公式等直接求和.运用公式求解的注意事 项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于n这个数列之后，再计算.特别地，
9、注意数列是等比数列时需要 讨论 和 的情况.1q等差数列求和公式： dnanS2)(2)(11等比数列求和公式： )1()(11 qqnnn另外，还有必要熟练掌握一些常 见的数列的前 项和公式 .正整数和公式有： ；n1()2nk；21()16nkn32(1)nk例 1、已知数列 的前 项和为 ，且 若 ,求数列 的前fnS.n,1fannaf1Nna项和 .nT分析：根据数列的项和前 项和的关系入手求出 再根据 （ )求出数列 的通项公式后，,fnfn确定数列的特点，根据公式解决.解： 当 时， 当 时， 适合上式2.121nSfn ,31Sf， ，即1nfN,3fanaN)1(21nna数
10、列 是首项为 4、公比为 2 的等比数列.a ；,111 nnn .4223 T【能力提升】公式法主要适用于等差、等比数列或可转化为 等差、等比数列的数列的求和，一些综合性的数列求和的解答题最后往往就归结为一个等差数列或等比数列的求和问题.变式训练 1： 已知 ，求 的前 项和.3logl23x nxx32变式训练 2： 设 ,求 的最大值.*()nsnN1)2(nSf2、倒序相加法如果一个数列 ，与首末两端等 “距离”的两项的和相等或等于同一个常数，可采用把正着写与倒着写的两个na和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法 .我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得
11、出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前 项和公式的推导，用的就是“倒序相n加法”.1212nnnSaa则 1211nnnSaaa例 2、已知函数 求.13xxF .09809FF分析：由所求的和式的特点，易想到探究：和为 1 的两个自 变量函数值的和是否为常数.从而确定可否用倒序相加法求和.【解析】 .3231xxx设 .098092FFS 2080719209SFF+ 得 2091821 FS ,所以60483.3012S【能力提升】倒序相加法来源于课本，是等差数列前 项和公司推 导时所运用的方法，它是一种重要的求和方法 .当求一个数列的有限项和时，若是“与首末两端等
12、距离 ”的两项和都相等，即可用此法.例 3：已知2()1xf，则 111()2(3)(4)ffff 解： 由222() 11xxfx原式 1 1(1)2(3)(4)322ffff 变式训练 1： 求 的值 89sinisinisin 222变式训练 2：如已知函数 f(x)对 任意 xR 都有 ，21)()xf )1(0nfSn+ ，（ ），求)3(nff2(nff*N变式训练 3：已知 ，那么 _21)(xf )2081()3(21)08()2(1 fffff 3、裂项相消法裂项相消法是将数列的各项拆成两项或多项，使得前后 项 相抵消，留下有限 项，从而求出数列的前 项和. 一般n地，我们把
13、数列的通项分成两 项之差，在求和 时中间的一些 项可以相互抵消，从而求得其和.适用于类似（其中 是各项不为 的等差数列， 为常数）的数列，以及部分无理数列和含阶乘的数列等.用裂项法1nacn0c求和，需要掌握一些常见的裂 项方法： ；1221)(12( nn； nn11； 11()()nknk例 4：na是公差为 d的等差数列，求 1ka解： 1 10kkkd 11112311nnkkk nadaaaa 1nda 例 5、数列 满足 ，求na nnnaa325,3,1122N.3232141nn aaT分析：根据给出的递推式求出数列 ，再根据 的特点拆 项解决.n1na解： 由已知条件，得 ， 是以 为首项， 为公比的等比数列，故nna1123n3212a,31nna
