三等角型相似三角形

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1、三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。典型例题【例 1】如图，等边ABC 中，边长为 6，D 是 BC 上动点，EDF=60（1）求证：BDECFD（2）当 BD=1，FC=3 时，求 BE 【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得B=C=EDF=60再用外角可证BED=CDF，可证

2、BDE 与CFD 相似排出相似比便可求得线段 BE 的长度解：（1）ABC 是等边三角形，EDF=60B=C =EDF =60EDC=EDF+FDC= B+BEDBED=FDCBDECFD（2）BDECFD BEDFBD=1，FC=3 ，CD=5BE= 35点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。【例 2】如图，等腰ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 中点，EDF=B，求证：BDEDFE【思路分析】比较例 1 来说区别仅是点 D 成为了 BC 的中点，所以BDE 与CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及 BD=CD 的条件可证得BDE 和DFE 相似解

3、： AB=AC，EDF =BB=C =EDFEDC=EDF+FDC= B+BEDBED=FDCBDECFD 又BD= CDDFE 即BEDF=BCADBE FCDEABFBDEDFE点评：三等角型相似中若点 D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点 D 是底边中点则有三对相似三角形，BDE 与CFD 相似后若得 加上 BD=CD 可证得CFD 与DFE 相DFECB似【例 3】如图，在ABC 中，AB=AC =5cm，BC=8，点 P 为 BC 边上一动点（不与点 B、C 重合） ，过点 P作射线 PM 交 AC 于点 M，使APM =B ；（1）求证：ABPPCM；（2）设

4、BP=x，CM=y 求 y 与 x 的函数解析式，并写出函数的定义域（3）当APM 为等腰三角形时， 求 PB 的长【思路分析】第（1） （2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。对APM进行等腰三角形的分类讨论时，可将条件转化成与ABPPCM 相关的结论解：（1）AB=AC，APM=BAPM=B=CAPC= APM +MPC= B+BAPBAP =MPCABP PCM（2）BP=x，CM=y ，CP=8-x MCPA yx85 12)80(x（3）当 AP=PM 时 PC=AB=5ABPCMBP=3当 AP=AM 时APM =B =CPAM =BAC 即点 P 与点 B 重合P 不与点 B、

5、C 重合舍去当 MP=AM 时MAP =MPAMAP ABC 85BCAPM 即 xBP= 39点评：等腰三角形分类讨论需要灵活应用，可采用的方法添底边上的高，将等腰的条件进行转化，三等角型相似这类问题中可将等腰的条件转化至ABP 和PCM 中简化运算。【例 4】 （1）在 中， ， ，点 、 分别在射ABC58BCPQAB P CMAB CPMAB CPMAB CPQ线 、 上（点 不与点 、点 重合） ，且保持 .CBAPCBABCPQ若点 在线段 上（如图 10） ，且 ，求线段 的长；6若 ， ，求 与 之间的函数关系式，并写出函数的 xyQx定义域；（2）正方形 的边长为 （如图 1

6、2） ，点 、 分别在直线 、ABCD5PQCB上（点 不与点 、点 重合） ，且保持 .P90A当 时，写出线段 的长（不需要计算过程，请直接写出结果）.1Q【思路分析】本例与前几例的区别在于与等腰三角形底角相等的角的顶点不仅在线段上还可以运动至线段的延长线上，这类变式问题是上海中考中最常见的，虽然图形改变，但是方法不变，依旧是原来的两个三角形相似列出比例式后求解。当等腰三角形变式为正方形时，依然沿用刚才的方法便可破解此类问题。解：（1） ， ，BAPCPQAABCQ .B又 ， . . .ABCPQ ， ， ， ，586BP268C ， .261（2）若点 在线段 上，由（1）知 .PCA

7、BQ ， ， ，xB8x8又 ， ， ，即 .yQ5A5xyy512故所求的函数关系式为 ， .12)0(若点 在线段 的延长线上，如图 11.PC ，PQB，AA， .B又 ，CP180， ，BCQAB C备用图AB CD图 12ABC备用图PQ . . . PCQABPBACQ ， ， ， ，xx85y ，即 .y85y512)0(（2）当点 在线段 上， ，或 .PBC2P25BP当点 在线段 的延长线上，则点 在线段 的延长线上， .QDC253BP当点 在线段 的延长线上，则点 在线段 的延长线上， .PCB 点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变” 。动点在线

8、段上时，通过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。强化训练：1. 如图，在ABC 中， ， ， 是 边上的一个动点，点 在 边上，且8ACB10DBCEACADE(1) 求证：ABDDCE；(2) 如果 ， ，求 与 的函数解析式，并写出自变量 的定义域；xByxx(3) 当点 是 的中点时，试说明ADE 是什么三角形，并说明理由C2. 已知：如图，在ABC 中， ， ，点 D 在边 AB5ACB6上， ，点 E 在边 BC 上又点 F 在边 AC 上，且ADBF(1) 求证：FCEEBD ；(2)

9、 当点 D 在线段 AB 上运动时，是否有可能使 EBDFCS4如果有可能，那么求出 BD 的长如果不可能请说明理由3. 如图，在ABC 中，AB=AC =5，BC=6，P 是 BC 上一点，且 BP=2，将一个大小与B 相等的角的顶点放在 P 点，然后将这个角绕 P 点转动，使角的两边始终分别与 AB、AC 相交，交点为 D、E。（1）求证BPDCEP（2）是否存在这样的位置，PDE 为直角三角形？若存在，求出 BD 的长；若不存在，说明理由。CPEABDAB CDEAB CDEF4. 如图，在ABC 中，AB=AC =5，BC=6，P 是 BC 上的一个动点(与B、C 不重合)，PE AB

10、 与 E，PFBC 交 AC 与 F，设 PC=x，记 PE=，PF=1y2（1）分别求 、 关于 x 的函数关系式y（2）PEF 能为直角三角形吗?若能，求出 CP 的长，若不能，请说明理由。5. 如图，在ABC 中，AB=AC =5，BC=6，P 是 BC 上的一个动点(与B、C 不重合)，PE AB 与 E，PFBC 交 AC 与 F，设 PC=x，PEF的面积为 y（1）写出图中的相似三角形不必证明；（2）求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（3）若PEF 为等腰三角形，求 PC 的长。6. 已知在等腰三角形 中， ， 是 的中点， 是 上的动点（不与ABC4,6AC

11、DEBC、 重合） ，连结 ，过点 作射线 ，使 ，射线 交射线 于点 ，交BDEFEAFF射线 于点 .H（1）求证： ；（2）设 .,xFy用含 的代数式表示 ；B求 关于 的函数解析式，并写出 的定义域.yx7. 已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC，且 AD5，ABDC2（1）如图 8，P 为 AD 上的一点，满足 BPCA求证；ABPDPC求 AP 的长（2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、D 不重合） ，且满足BPEA，PE 交直线 BC于点 E，同时交直线 DC 于点 Q，那么当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 APx，CQy，求 y 关于 x 的

12、函数解析式，并写出函数的定义域；当 CE1 时，写出 AP 的长（不必写出解题过程） 8. 已知：如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC， ， ， ， ，AMDC，E、F 分别是线段 AD、AM 上的动90B8A12D34tanCCPEABFCPEABFHABC DEFCDABP点（点 E 与 A、D 不重合）且 ，设AMBFE， .xDyMF（1）求证： ；（2）求 与 的函数关系式并写出定义域；（3）若点 E 在边 AD 上移动时， 为等腰三角形，求 的值；EFMx9. 已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC，且 BC =6，AB=DC=4，点 E 是 AB 的中点（1）如图，P 为

13、 BC 上的一点，且 BP=2求证：BEPCPD；（2）如果点 P 在 BC 边上移动（点 P 与点 B、C 不重合） ，且满足EPF =C，PF 交直线 CD 于点F，同时交直线 AD 于点 M，那么当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP= ，DF= ，求 关于 的函数解析式，并写出函数的xyx定义域；当 时，求 BP 的长BEPDFS4910. 如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC ，AB=CD=BC=4，AD=2点 M 为边 BC的中点，以 M 为顶点作EMF =B，射线 ME 交边 AB 于点 E，射线MF 交边 CD 于点 F，连结 EF（1）指出图中所有与BEM 相似的三

14、角形，并加以证明；（2）设 BE=x，CF=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；答案：1. 解：（1）AB=AC B=CADC=ADE+CDE= B+BADBAD=CDEABDDCE（2）ABDDCE ADEA EFDB M CEDCBAP（第 25 题图）EDCBA（备用图）AB CDMEF ， ， xBDyAExDC10yx884512x)10(（3） ， 是 的中点ADBCDAE+ADE=90 B DEAADE 是直角三角形2. 解：（1）AB=ACB=CBED+DEF =C+EFC=90又 BED=EFCBEFFCEEBD（2）BD= x， BE= ，35xE356FCEEBD 若 2)(BDSEFCEBDFCS44)356(2x18x BD 不存在3165x3. 解：（1）AB=AC B=CDPC=DPE+EPC= B+BDPEPC =BDP ABDDCE（2）DPE=B 90若PDE=90，在 RtABH 和 RtPDE 中cosABH=cosDPE= 53PEDAH53PCBPC=4 512BD若PED=90在 RtABH 和 RtPDE 中cosABH=cosPED= 53PDEAH35PCBPC=4 （舍去）5320BD综上所述，BD 的长为 14. 解：（1） 、 524)6(541xy xy3