Lebusgue测度与积分论.doc(1)

用集合分析法建立积分论框架摘要 在《实变函数》的理论体系及应用方式中，集合分析法都占有不可磨灭的地位本文通过两条主线：理论线和应用线阐述了集合分析法的在《实变函数》中的具体作用，从而给《实变函数》找到了一条更加清晰的发展脉络，并使得它的应用更具可操作性关键词：集合、分析、构造、黎曼积分、勒贝格测度、 、勒贝格积分Lebusgue Measure and Calculus TheoryLi Suwen Hao Huiwei（College of math. and computer science, Hebei university, Baoding,071002）Abstract: This paper discussing the emerging of the ‘real function’ at the very beginning, mainly discusses the basic role of measure theory in real function theory. Elaborate the meaning of Caratheodory definition in practical use. Lebusque calculus theory is the further use of Riemann calculus, and as a new analysis tool, it overcomes many difficulties in using Riemann calculus theory, thus, elaborating the superiority over others in practical using.Key words: Jordan measure , Riemann calculus , Lebusgue measure , Measurable function, Lebusgue calculus作为近代积分论的基础，测度在其它数学分支如：泛函分析、概率论、复变函数等方面也有广泛的应用。

而测度适用于更广泛的集合类，人们当然想到了如果把积分概念置于集合测度理论的框架之中，那么，集合的测度与可测性的推广将意味着函数的积分与可积性的推广法国数学家勒贝格引入了勒贝格测度这一概念，使积分理论从黎曼积分发展到勒贝格积分，从而克服了传统积分理论的许多缺陷，如扩充了所研究函数的范围和极限的意义，从而推广了传统的微积分理论，创立了实变函数论从《实变函数》的整个框架结构中，我们看到测度的推广是整个结构的核心，而卡氏定义的给出，正是完成这个推广的关键，卡氏定义的给出过程是充分结合新测度的特征，并完全具有新定义理论架构必须更便捷和好操作的特点一）从约当测度到勒贝格测度带来积分论的革命我们知道测度概念就是人们原本所熟悉的长度、面积、体积的推广在求面积、体积问题上，数学分析比初等几何大大前进了一步它能够对相当广泛的一类平面或空间图形定义并计算它的面积或体积，例如曲线 下的曲边梯形的面积 可通过积分来定义： 又如对于更一般的0)(xfySSbadxf)(平面点集 当其特征函数 黎曼可积时， 的面积 可通过二重积E),(yxEEyx),(0,1{当当 （ ES分来定义： 其中 为包含 的矩形。

所有这些可以不依赖于积分概念而在点集论dSK,K的基础上直接加以定义，而且反过来为黎曼积分服务因此约当测度可以说是黎曼积分的集合基础它的具体方式为：不妨设 为一有界点集，对于每一组覆盖 的开区间 ( 是任一自然数), siI,21}{,各作出它们的体积总和 ，而不同的区间组一般有不同的 ，所有这些 显然构成EIsi1 siI1|一个下方有界的数集，它的下确界由 完全确定，称为 的约当外测度另外对于每一EEJEm)(*组含于 互不相交的开区间 ( 是任一自然数), ，各作出它们的体积总和siI,2}{ Isi1 ，而不同的区间组一般有不同的 ，所有这些 构成一个上方有界的数集，它的上确界由 完全|1siiI 确定，称为 的约当内测度，记为 如果 = ，则称 为约当可测，记为 ，EJEm)(*J)(*JE)(* JE)(即 = = 若设 为一区间且有 ，定义 的特征函数 ： =Jm)(J)*J)(*KK)(PE我们可以得出有界点集 约当可测的充要条件是 在一包含 的区间 上PK当 当0{ K黎曼可积，且 约当测度的性质（可加性）：设 A，B 为约当可测集且无公共内点，dVKEJ)()(则 。

JJJmBABm)())(（二） Caratheodory 定义使得测度的推广简洁完美由约当可测集及其测度的性质易知：任意有限多个约当可测集 的并集 仍为约当可sE,21si1测，且当它们互不相交时有 ，但对于一列约当可测集 来说，一般就不能保sisiJiJE11)()(}{i证并集 的约当可测性，即使它有界例如[0，1] 中全体有理点，虽然每点都约当可测，但其并不是1iE约当可测的，即约当测度只满足有限可加性，由于约当测度与黎曼积分的密切关系，约当测度的这种局限性也反映到黎曼积分上来如[a,b] 上任意有限多个黎曼可积函数 的和仍为黎曼)(,)(,21xffxs可积，且 但对于一列黎曼可积函数来说，即使 有界，一般仍不sibasi dxfxf11)()( 1id能保证 的黎曼可积性因此，将约当测度扩充为一个具有可数可加性的测度就成为必然id自然而然，人们能采用的定义过程是这样的定义 1 ：设 E 为 中任一点集，对于每一列覆盖 E 的开区间， ，作出它的体积总和nR EIi1（ 可以等于 ，不同的区间列一般有不同 ） ，所有这一切的 组成一个下方有界的数|1iiI集，它的下确界（由 E 完全确定）称为 E 的勒贝格外测度，简称 L 外测度或外测度，记为 。

m*从约当外测度到勒贝格外测度，我们有如下发现：不仅点集 E 由有界集变成了任一点集，更重要的是前者只是采用了有限多个开区间作覆盖，而后者却采用了可数多个开区间作覆盖，这一“量变”就产生了深刻的“质变”是勒贝格外测度具有了次可列可加性： iii Am1*1*)(有了 的的一个上界，即 E 的外测度，现在再定义 的一个下界定义 2 ：设 E 为 Rn 中有界集，I 为任一包含 E 的开区间，则|I|－ （I－E）称为 E 的内测度，记为*m*这样，对于 中所有满足 的有界集就一定有 m**定义 3 ：设 E 为 Rn 中有界集，如果 ，则称 E 是 L 可测的又设 E 是 Rn 中的无界集，*如果对任何开区间 I，有界集 E I 都是 L 可测的，则称 E 是 L 可测的对于 L 可测集 E，不管它有界或无界一律称 E 为它的 L 测度，简记为 mE以上是勒贝格原来下的定义由于定义中有界集与无界集受到不同的对待而且同时出现内外两种测度，而且内测度还是由外测度辅助给出的定义，使用起来很不方便从这里可知，外测度在这里是关键，当给出外测度以后，可以转而去寻找使得内外测度相等的条件， 因此 Caratheodary 给出了更为简洁的卡氏定义。

卡氏定义： 设 E 为 中的点集，如果对于任一点集 T 都有 ，则nR )()(**CETmm称 E 是勒贝格可测的这时 E 的勒贝格外测度 即称为 E 的勒贝格测度，记为 mE卡氏定义的本质就在于用这种方式给出来的测度能够顺利的导出测度具有可列可加性，之所以能够达到这个目的完全是因为这个定义本身所具有的特征，从定义中我们可以看到，任意点集 T 被集合 E 划分成两部分 和 后其外测度都是这两部分外测度的和 卡氏定义不仅在理论上是整个函数TC论的灵魂，它的应用在整个测度部分也是至关重要的，这一点从后续一系列定理的证明上就可见一斑首先我们来看一个和卡氏定义等价的定理及其证明：集合 E 可测的充要条件是对于任意 ，A，总有CEBBmAm**)(证明：必要性：取 ，则 ，ETBC所以 BmACETmTmBA **** )()()( 充分性：对任意 T，令 ， ，且 ,因此EBT)(*在以上证明中可以看到卡氏定义除了在于刚才阐述的特征之外，还在于当我们知道一个集合可测时，这里的 T 的任意性，使得我们可以由此得到好多我们所要的结论，也使得作为一种科学工具它让使用者具有更大的乐趣。

有了卡氏定义，勒贝格测度的性质证明就变得十分顺利、简便其主要性质如下：定理 1：设 是一列互不相交的可测集，则 也是可测集，且 }{iS1iS11)(iiimS由此可见，勒贝格测度是约当测度的扩充和推广勒贝格测度推广的思路：内测度等于外测度，故只须使用外测度推论 1：设 Si(I=1,2,…,n)都可测 ,则 也可测,并且当 Si∩S j=∮(i≠j)时对于任意集合 T,总有ni1[T ( )]= (T Si)*mni1ni1*m定理 2：设｛S i｝是一列互不相交的可测集,则 也是可测集，且 m（ ）= （1）1iS1iSii证明:首先证明 的可测性，由推论 1，对任何 n, 可测，故对于任意的 T 总有：1i niT= [T ( )]+ [T C( )]≥ [T ( )]+ [T C( )](外测度单调性)*mniS*mniS1*miS1*1iS= (推论 1)ni IiiCT1 )][)令 n 得， T≥ (2)， （次可加性） ，故有*11 )]([Iii SCTST≥ [T ( )]+ [ T C( )]*mim1i另一方面由于 T= ，1)()i iSS又有: T≤ [T ( )]+ [ T C( )]*i*1i因此， T = [T ( )]+ [ T C( )]m1iSmiS这就证明了 的可测性.1iS在(2)式中,令 T= ,这时由于( ) Si= Si,， 便得 m( )≥ ,另一方面由外测度性质(3) 有i1i 1iS1iimm( )≤ ,故(1) 式成立1iS1iim通过观察以上性质的证明我们可以看到，卡氏定义应用的两个方面，一方面它具有外测度的次可加性；另一方面我们可以对具体的集合去构造另一个方向的不等关系，这可以用集合的一些知识来达到。

三）勒贝格测度带来积分论应用范围的极大拓展勒贝格测度对积分论的贡献主要从两个方面来体现：1．测度的给出，极大的扩充了集合类，使得象（0，1）中的有理数集合，Cantor 集合等原来在约当测度定义下的不可测集合等变得 L 可测，并且用卡氏定义使得可测集合类能够变得更明确，并且使得 L不可测集合也能有办法用可测集合逼近或者替代2．勒贝格进一步去定义了一类函数—勒贝格可测函数，勒贝格可测函数的定义是把它转化为一系列集合的可测我们都知道函数的两大要素是定义域和对应法则，在对应法则确定的情况下，一个函数只取决于它的定义域，因此上一个函数的可测也就可以通过定义域的子集的可测来达到，在这里勒贝格是如下定义的：设 是定义在可测集 E 上的函数，若对于任意的实数 ，集合 都是可测集，)(xf a)(afE则称函数 是集合 E 上的可测函数这样作为积分论的两大基础，集合和函数的准备条件，实际上都可以归结为具有同一性的集合的可测讨论，使得实际当中在建立系统结构时更趋于完美3．在勒贝格测度的基础上，更能进一步的对所有集合进行分类：可测集，不可测集合可测集合中，为了能更好的应用开集、闭集这些比较好操作的集合，更归纳出了 型集和 型集。

同时可以得出：GF对任何可测集合都存在 型集和 型集，并且其差的测度为零虽然勒贝格测度定义下并不能保证所GF有集。