《（江苏专用）2017版高考数学 专题9 平面解析几何 76 直线与圆锥曲线 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）2017版高考数学 专题9 平面解析几何 76 直线与圆锥曲线 理（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 9 平面解析几何 76 直线与圆锥曲线 理训练目标会判断直线与圆锥曲线的位置关系，能熟练应用直线与圆锥曲线的位置关系解决有关问题.训练题型(1)求曲线方程；(2)求参数范围；(3)长度、面积问题；(4)与向量知识交汇应用问题.解题策略联立直线与曲线方程，转化为二次方程问题，再利用根与系数的关系转化为代数式、方程组、不等式组，结合已知条件解决具体问题.1已知椭圆 E： 1( ab0)，其焦点为 F1， F2，离心率为 ，直线 l： x2 y20x2a2 y2b2 22与 x 轴， y 轴分别交于点 A， B，(1)若点 A 是椭圆 E 的一个
2、顶点，求椭圆的方程；(2)若线段 AB 上存在点 P 满足 PF1 PF22 a，求 a 的取值范围2(2015重庆巫溪中学第五次月考)已知椭圆 C： 1( ab0)的一个焦点与抛物线x2a2 y2b2y24 x 的焦点相同，且椭圆 C 上一点与椭圆 C 的左、右焦点 F1， F2构成的三角形的周长为 2 2.2(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l： y kx m(k， mR)与椭圆 C 交于 A， B 两点， O 为坐标原点， AOB 的重心 G满足： ，求实数 m 的取值范围F1G F2G 593(2014眉山联考)已知抛物线 的顶点是坐标原点 O，焦点 F 在 y 轴正半轴上，过点
3、 F的直线 l 与抛物线交于 M， N 两点，且满足 O O 3.M N (1)求抛物线 的方程；(2)若直线 y x 与抛物线 交于 A， B 两点，在抛物线 上是否存在异于 A， B 的点 C，使得经过 A， B， C 三点的圆和抛物线 在点 C 处有相同的切线？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由4(2015浙江新阵地教育研究联盟联考)已知中心在原点的椭圆 1的右焦点和抛物线 2的焦点相同，为(1,0)，椭圆 1的离心率为 ，抛物线 2的顶点为原点，如图所示122(1)求椭圆 1和抛物线 2的方程；(2)设点 P 为抛物线 2准线上的任意一点，过点 P 作抛物线 2的两条切线
4、 PA， PB，其中A， B 为切点设直线 PA， PB 的斜率分别为 k1， k2，求证： k1k2为定值；若直线 AB 交椭圆 1于 C， D 两点， S PAB， S PCD分别是 PAB， PCD 的面积，试问：是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由S PABS PCD5(2015贵州七校联盟上学期第一次联考)已知中心在原点 O，左焦点为 F1(1,0)的椭圆C1的左顶点为 A，上顶点 B， F1到直线 AB 的距离为 OB.77(1)求椭圆 C1的方程；(2)若椭圆 C1的方程为 1( mn0)，椭圆 C2的方程为 ( 0，且 1)，x2m2 y2n2 x2m2 y2n2
5、则称椭圆 C2是椭圆 C1的 倍相似椭圆，已知椭圆 C2是椭圆 C1的 3 倍相似椭圆，若直线y kx b 与两椭圆 C1， C2交于四点(依次为 Q， R， P， S)，且 P R 2 ，如图所示，S S QS 试求动点 E(k， b)的轨迹方程3答案解析1.解(1)由椭圆的离心率为 ，得 a c，22 2直线 l 与 x 轴交于 A 点， A(2,0)， a2， c ， b ，2 2椭圆方程为 1.x24 y22(2)由 e ，可设椭圆 E 的方程为 1，22 x2a2 2y2a2联立Error!得 6y28 y4 a20，若线段 AB 上存在点 P 满足 PF1 PF22 a，则线段 A
6、B 与椭圆 E 有公共点，等价于方程 6y28 y4 a20 在 y0,1上有解设 f(y)6 y28 y4 a2，Error! 即Error! a24，43故 a 的取值范围是 a2.2332.解(1)依题意得Error!即Error!所以椭圆 C 的方程为 y21.x22(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立得方程组Error!消去 y 并整理得(12 k2)x24 kmx2 m220，则Error!设 AOB 的重心为 G(x， y)，由 ，F1G F2G 59可得 x2 y2 .49由重心公式可得 G( ， )，代入式，x1 x23 y1 y23整理可得( x1 x2
7、)2( y1 y2)244(x1 x2)2 k(x1 x2)2 m24，将式代入式并整理，得 m2 ， 1 2k2 21 4k2代入(*)得 k0，则 m2 1 1 . 1 2k2 21 4k2 4k41 4k2 44k2 1k4 k0， t 0， t24 t0， m21，1k2 m(，1)(1，)3.解(1)依题意，设抛物线 的方程为 x22 py(p0)，则 F(0， )p2由直线 l 的斜率存在，设为 k，得 l 的方程为 y kx ，p2联立方程Error!消去 y 并整理，得 x22 pkx p20，设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 x1 x22 pk， x1x2 p
8、2，又 y1y2( kx1 )(kx2 )p2 p2 k2x1x2 kp(x1 x2)12 p24 k2( p2) kp2kp12 p24 .p24所以 x1x2 y1y2OM ON p2 3，p24因为 p0，解得 p2，故所求抛物线 的方程为 x24 y.(2)联立方程Error!可求得A(0,0)， B(4,4)，假设抛物线 上存在异于 A， B 的点 C，5且设 C 的坐标为( t， )(t0， t4)，t24使得经过 A， B， C 三点的圆和抛物线 在点 C 处有相同的切线令圆心为 E(a， b)，则由Error!得Error!即Error! 解得Error!因为抛物线 在点 C
9、处的切线斜率k y| x t (t0， t4)，t2又该切线与 EC 垂直，所以 1，b t24a t t2即 2a bt2 t 0，t34将代入得 2( ) t 2 t 0，t2 4t8 t2 4t 328 t34即 t32 t28 t0，因为 t0， t4，解得 t2，故存在点 C，且坐标为(2,1)4(1)解设椭圆 1和抛物线 2的方程分别为 1( ab0)， y22 px(p0)，x2a2 y2b2由题意得 ， c1， 1，ca 12 p2即 a2， c1， p2，所以椭圆 1的方程为 1，x24 y23抛物线 2的方程为 y24 x.(2)证明设 P(1，t)，过点 P 与抛物线 y
10、24x 相切的直线方程为 ytk(x1)由Error!消去 x 整理得 y2 y 40，4k 4tk由 0 得 10，1k2 tk即 k2tk10，则 k1k21，为定值解设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，6由得 y1 ， y2 ，2k1 2k2则 x1 ， x2 ，1k21 1k2直线 AB 的方程为 y y1 (x x1)，y2 y1x2 x1即 y (x1)，2k1 k2即直线 AB 过定点(1,0)，设 P 到直线 AB 的距离为 d， .S PABS PCD12dAB12dCD ABCDa当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y k(x1)设 A(x1， y
11、1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， D(x4， y4)，由Error!消去 y 并整理，得 k2x2(2 k24) x k20，k0 时， 0 恒成立AB 1 k2 x2 x1 2 1 k2 16 16k2k4 .4 1 k2k2由Error!消去 y 并整理，得(34 k2)x28 k2x4 k2120， 0 恒成立CD 1 k2 x3 x4 2 1 k2 144 144k2 3 4k2 2 .12 1 k23 4k2所以 S PABS PCD4 1 k2k212 1 k23 4k2 .3 4k23k2 1k2 4343b当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 的方程为 x
12、1，7此时， AB4， CD3， ，S PABS PCD 43综上可知， 的最小值为 .S PABS PCD 435.解(1)设椭圆 C1的方程为 1， ab0，x2a2 y2b2直线 AB 的方程为 1，x a yb F1(1,0)到直线 AB 的距离为 d b，| b ab|a2 b2 77 a2 b27( a1) 2，又 b2 a21，解得 a2， b ，3椭圆 C1的方程为 1.x24 y23(2)椭圆 C1的 3 倍相似椭圆 C2的方程为 1，x212 y29设 Q， R， P， S 各点坐标依次为( x1， y1)，( x2， y2)，( x3， y3)，( x4， y4)，将 y
13、 kx b 代入椭圆 C1的方程，得(34 k2)x28 kbx4 b2120， 1(8 kb)24(34 k2)(4b212)48(4 k23 b2)0，(*)此时， x1 x2 ， x1x2 ，8kb3 4k2 4b2 123 4k2| x1 x2| x1 x2 2 4x1x2 ，43 4k2 3 b23 4k2将 y kx b 代入椭圆 C2的方程，得(34 k2)x28 kbx4 b2360， x3 x4 ， x3x4 ，8kb3 4k2 4b2 363 4k2|x3 x4| ，43 12k2 9 b23 4k2 x1 x2 x3 x4，线段 PS， QR 中点相同， PQ RS，由 P R 2 Q ， R Q ，S S S S R PS3 QR，解得| x3 x4|3| x1 x2|，8 3 ，43 12k2 9 b23 4k2 43 4k2 3 b23 4k212k294 b2，满足(*)式，动点 E(k， b)的轨迹方程为 1.4b29 4k23
