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1、12015 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）预测（上海卷）一、填空题(本大题满分 56 分 ) 本大题共有 14 题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得 4 分，否则一律得零分1、全集 ，集合 ， ，则01272xU43xM03xNNCM解析： ，3,43,4)CU42、设 ， ， ，如果 是 的充分非必要条件，则 的范:x21:mxRm围是 解析：由 得 ，又 和 也满足，24m00110m3、函数 （ 且 ）的图象经过点 ，其反函数的图象经过点 ，则xyab1a,74,0_解析：由 ，得714b3b4、已知 ，则 _sinsin2()4解析： 27i()co1
2、sin485、已知圆锥的母线长为 ，轴截面（过轴的截面）为直角三角形，则圆锥的全面积为_a解析： 轴截面为直角三角形，母线长为 ， 圆锥的高为 ，底面半径为 ，从而全面a2a2a积为 21a6、函数 ，如果 ，则 _xxf2tansi)(1)(af)(af解析：令 ，此函数为奇函数，由 得 ，从而g 1()g()2()3fa27、设 是等差数列 的前 项和若 ，则 _nSna317S76解析：由 得， ，从而3176d61752ad8、关于 的不等式 恒成立，则实数 的范围是 xx2解析： ，min()5a9、若 ，则 _nnS2143215 nSlim解析： ，2()()51nnn7li4n
3、10、函数 ，不等式 的解集为 ，当cbxaf2)()0(a02cbxa02x时，则 、 、 、 这四个值中最大的一个是 mn0nfmfnf)(mf解析：由已知得函数 是开口向上的抛物线，且对称轴为 ， 此函数在cbxaf2)( 1x上单调递增，而 ， 最大。1,)0n)(mf11、若函数 的图像与 轴交于点 ，过点 的直线 l与函数的(2cos()36fxx(15)xxA图像交于另外两点 、 是坐标原点，则 BCO()BOC解析： 的周期为 6，作出 上的函数图像，得到 ，点 、()cs()fxx1,(2,0)B是关于点 A 对称， ，所以C2A2()8A12、 ,若 ,则 nnxaaxx
4、102)1()1( nan6121 解析：显然 ，令 得 ，所以0,na2101 nn ，1236n513、若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是 1,xax22 a解析：函数 在 上的值域为 ，故 ，即2()f0,10,221a314、如图所示， 为双曲线 的左焦点，双曲线 上的点 与F164:2yxCCiP关于 轴对称，则 的值3,217iPy FPFP654321 是 解析：设右焦点为 ，则 ,所以F435261,FPPF65321 = =6a=4821二、选择题(本大题满分 20 分 )本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格
5、涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分15在空间中，下列命题正确的是 答 ( )A若两直线 a,b 与直线 l 所成的角相等，那么 ab B空间不同的三点 确定一个平面ABC、 、C如果直线 l/平面 且 /平面 ，那么 /lD若直线 a与平面 M没有公共点，则直线 a/平面 M解析：考查直线，平面的位置关系， 选 D16设实数 均不为 0，则“ 成立”是“关于 的不等式 与12,b12bax10axb的解集相同”的 答 ( )20axA充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件解析：考查方程组的解集问题，选 B17若复数 同时满足 ， ，则 ( 是虚数单位， 是 的共轭复数)
6、 答 ( z2izzziz)A B C D 1ii1i1i解析：考查复数的共轭复数的概念，选 D18已知数列 共有 5 项，满足 ，且对任意 ，有na123450aa(5)ijij、仍是该数列的某一项，现给出下列 4 个命题：ij(1) ；(2) ；(3)数列 是等差数列；5041n(4)集合 中共有 9 个元素|,5ijAxaij则其中真命题的序号是 答( )4(1)、(2)、(3) 、(4) (1)、(4) (2) 、(3) (1)、(3) 、(4)ABCD解析：考查数列的通项公式，选 C三、解答题(本大题满分 74 分 )本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写
7、出必要的步骤19(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分在长方体 1ABCD中， 2ABC， ，过 1A、131、 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体 1(1) 若 AC的中点为 1O，求异面直线 1B与 1AD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；(2)求点D到平面 的距离 1Bd解析：(1)按如图所示建立空间直角坐标系由题知，可得点 、(0,)、 、 、 (2,0)B1(,3)1(2,0)A1(,23)C由 是 中点，可得 . 1OCO于是， 1(,)(,)D设异面直线 与 所成的角为 ，则1BA 12cos1|O因
8、此，异面直线 与 所成的角为 1BAD1arcos(2)设 是平面 的法向量 (,)nxyz 10.BC又 ， 11(,23)(,0)A 取 ，可得 即平面 的一个法向量是 .yzx3,2.xyz1BAC(3,2)nABCD11CABCD1A1CDx y z5 |nDBd621620(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 7 分已知函数 ，函数 与函数 的图像关于原点对13g(sincosRxx， ()fx()gx称(1)求 的解析式；()yfx(2)求函数 在 上的单调递增区间0，解析：(1)设点 是函数 的图像上任意一点，由题意可知，点 在
9、的(,)xy()fx(,)xy()gx图像上， 于是有 13sin(2)cos(2)1,R所以， ， )ifxx(2)由(1)可知， ，记 13(sn2cos1in(2)1,03x0,D由 ，解得 ， 2,Zkxk5,2Zkk则函数 在形如 的区间上单调递增. ()f5,12结合定义域，可知上述区间中符合题意的整数 只能是 0 和 1 令 得 ； 时，得 . 0k1,Dk173,2D所以， ， 22,于是，函数 在 上的单调递增区间是 和 ()fx,0,1,21(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分有一块铁皮零件，其形状是由边长为 的正方
10、形截去一个三角形 所得的五边形 ，4cmABFABCDE其中 ，如图所示现在需要用这块材料截取矩形铁皮 ，使得矩形相邻12,0AFcmB MPN两边分别落在 上，另一顶点 落在边 或 边上设 cm，矩形 的面积为CDEPCBADx y2c(1)试求出矩形铁皮 的面积 关于 的函数解析式，MNyx并写出定义域；(2)试问如何截取(即 取何值时 )，可使得到的矩形 的面积最大？xDMPN7解析：(1)依据题意并结合图形，可知：当点 在线段 上，即 时， ； 01PCB03x40yx当点 在线段 上，即 时，由 ，得 02APQBFA6485x于是， 2675yDMEx所以， 定义域 240,367
11、.405 x(0,4D(2)由(1)知，当 时， ； x1y当 时， 304，当且仅当 时，等号成立 226953607()5y953x因此， 的最大值为 1答：先在 上截取线段 ，然后过点 作 的垂线交 于点 ，再过点 作DE3McmMDEBAP的平行线交 于点 ，最后沿 与 截铁皮，所得矩形面积最大，最大面积为CNPN3610 2cm22(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 7 分，第 3 小题满分 8分已知数列 满足 ，对任意 都有 na12*Nmp、 mppa(1)求数列 ( )的递推公式；*N(2)数列 满足 ( )，求通项公式 ；nb 1312()12nnbbb *Nnb(3)设 ，问是否存在实数 使得数列 ( )是单调递增数列？若存在，求出2cnc*的取值范围；若不存在，请说明你的理由解析：(1) 对任意 都有 成立， *Nmp、 mppa令 ，得 ,1n*1,nn8数列 ( )的递推公式是
