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1、 凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第 1 页 共 13 页2016 年数学三考研真题（完整版）凯程首发下面凯程老师把 2016 年的真题答案全面展示给大家，供大家估分使用，以及 2017 年考研的同学使用，本试题凯程首发，转载注明出处。一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）设函数 在 内连续，其导数如图所示，则（ ）()yfx,)（A）函数有 2 个极值点，曲线 有 2 个拐点(yfx（B）函数有 2 个极值点，曲线 有 3 个拐点)（C）函数有 3 个极值点，曲线 有 1
2、 个拐点(yf（D）函数有 3 个极值点，曲线 有 2 个拐点)x【答案】（B） xy0【解析】【解析】由图像易知选 B2、已知函数 ，则(,)xefy（A） （B ） （C ） （D ）0xyf0xyfxyffxyff【答案】（D）【解析】 ，所以2(1)xefy2xyef xyff（3）设 ，其中 ，(i,)iiDTd33(,),D101，则(,),(,),xyyxyxy 22 301 凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第 2 页 共 13 页（A） T123（B） 3（C） 21（D） T3【答案】B【解析】由积分区域的性质易知选 B.（4）级数为 ，（K 为常数）sin()n k
3、11（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与 K 有关【答案】A【解析】由题目可得， sin()sin()sin()n n nkkk 1 1 11 1因为 ，由正项级数的比较si()()判别法得，该级数绝对收敛。（5）设 是可逆矩阵，且 与 相似，则下列结论错误的是（ ）,ABAB（A） 与 相似T（B） 与 相似1（C） 与 相似T（D） 与 相似1【答案】（C）【解析】此题是找错误的选项。由 与 相似可知，存在可逆矩阵 使得 ，AB,P1AB则 1 11 11 1 11()(),23 , TTTTPABPBABAD 故 （ ） 不 选 ；， 故 （ ） 不 选 ； 故 （ ）
4、不 选 ；此外，在（C）中，对于 ，若 ，则1()TTPP =A 凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第 3 页 共 13 页，而 未必等于 ，故（C）符合题意。综上可知，（C ）为正1()TTPAB1TPATB确选项。（6）设二次型 的正负惯性指数分别22123131231(,)()fxaxxx为 ，则（ ）1,2（A） a（B） （C）（D） 或12【答案】（C）【解析】考虑特殊值法，当 时， ，0a1231231(,)fxxx其矩阵为 ，由此计算出特征值为 ，满足题目已知条件，故 成立，01,0a因此（C）为正确选项。7、设 为随机事件， 若 则下面正确的是（ ,AB0()1,(),
5、PAB()1PA）（A） ()1P（B） 0（C ） ()（D） 1PA【答案】（A）【解析】根据条件得 ()(BP1()() 1()AABPB8、设随机变量 独立，且 ，则 为,XY,2(,4)NY:()DXY（A）6（B）8（C ）14（D）15【答案】（C） 凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第 4 页 共 13 页【解析】因为 独立，,XY则 2222()()()DEEXY()14D二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)已知函数 满足 ，则()fx()sinlimxfe3012lim()_xf0【答案】6【解析】因为 ()si
6、n()sin()()limlililixx xxxff ffe30 0001212 2333所以 6(10)极限 lisinisin_x2012【答案】 co【解析】limsinisinlimsinsiincosx xi xd 12 00 0112 1(11)设函数 可微， 有方程 确定，则(,)fuv(,)zy()(,)zyfzy2,_dz01【答案】 ,dxy012【解析】 两边分别关于 求导得()(,)fz,xy，将 代入得，(,),()()(),xy yzfxzzf 212121 ,z01,dd0(12) 凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第 5 页 共 13 页（13）行列式
7、_.10432【答案】 4【解析】 4143210100=+4.32432+（ -）14、设袋中有红、白、黑球各 1 个，从中有放回的取球，每次取 1 个，直到三种颜色的球都取到为止，则取球次数恰为 4 的概率为 【答案】 9【解析】21332()9PAC三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 （本题满分 10 分）求极限 410limcos2inxx【解析】 410licos2nx4s2in10limxe243411()!0lixxx13e16、（本题满分 10 分）设某商品的最大需求量为 1200 件，该商品的需
8、求函数 ，需求弹性()Qp， 为单价（万元）(0)12pp(1)求需求函数的表达式(2)求 万元时的边际收益，并说明其经济意义。 凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第 6 页 共 13 页【解析】（1）由弹性的计算公式得 可知pdQp120分离变量可知 d两边同时积分可得 ln(120)QpC解得 (120)Cp由最大需求量为 1200 可知，解得(0)Q故 120)1pp（2）收益 ()RP边际收益： 120(1)20dppQp已知 108p经济学意义是需求量每提高 1 件，收益增加 8000 万元.（17）（本题满分 10 分）设函数 求 ，并求 的最小值。,0102xdttxf x
9、fxf【解析】当 时， 31423122 xdttdtfx当 时，1x3102xtxf则 13104132322xxxxf 凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第 7 页 共 13 页12042xxxxf由导数的定义可知， 21,0,2 fff故 12042xxf由于 是偶函数，所以只需求它在 上的最小值。f ，易知 ;,0,x;,xf可知 的最小值为 。f 321（18）（本题满分 10 分）设函数 连续，且满足xf，求00 xx edtfdtf f【解析】令 ，则uxxx dufut000代入方程可得 1000 xxxx edtftfdf两边同时求导可得 0xxetff由于 连续，可知
10、 可导，从而 也可导。dtf0xf故对上式两边再求导可得 xefxf在(1)式两边令 可得010f解此微分方程可得 23xexf 凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第 8 页 共 13 页（19）（本题满分 10 分）求 幂级数 的收敛域和和函数。201nnx【解析】令 20()1nxSx两边同时求导得 210()nx两边同时求导得 220()1nSxx两边积分可得 ()lC由 可知，0S1()lnl()ln(1)xSx两边再积分可知 ()1l()l()xx易知， 的收敛半径为 1，201nnS且当 时级数收敛，可知幂级数的收敛域为-1,1,x因此， ， -1,1()l()ln(1)Sx
11、xx（20）（本题满分 11 分）设矩阵 ，且方程组00,112aA无解，Ax（）求 的值；a（）求方程组 的通解TAx【解析】（）由方程组 无解，可知 ，故这里有 ，(),)rA0A 凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第 9 页 共 13 页或 。由于当 时， ，而当100aA2a0a(),)rA时， 。综上，故 符合题目。2a(),)rA（）当 时， ，故0321,2TTA，01(,)22 TA因此，方程组 的通解为 ,其中 为任意实数。Tx10xkk（21）（本题满分 11 分）已知矩阵 .0123A（）求 ；9（）设 3 阶矩阵 ，满足 ，记 ，将123(,)B2BA1023(,
12、)分别表示为 的线性组合。12,【解析】（）利用相似对角化。由 ，可得 的特征值为 ，故 .0EA1230,012A当 时，由 ，解出此时 的属于特征值 的特征向量为 ;1()xA1013当 时，由 ，解出此时 的属于特征值 的特征向量为2()0EA2 凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第 10 页 共 13 页;210当 时，由 ，解出此时 的属于特征值 的特征向量为3(2)0EAxA32.310设 ，由 可得 ，1231(,)20P1012PA1AP，99A对于 ，利用初等变换，可求出 ，故3120P1021P9998991 10109030222121AP （） ，由于232210
13、9BABABBA， ，故123(,)1023(,)，因此，9998910101231231232(,)(,)(,)91091098911212312()(),()(),()(). （22）（本题满分 11 分）设二维随机变量 在区域(,)XY 凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！第 11 页 共 13 页上服从均匀分布，令2,01,Dxyxy1,XYU（I）写出 的概率密度；()（II）问 与 是否相互独立？并说明理由；（III）求 的分布函数 .ZX()Fz【答案】（I） 23,01,xyxfxy其 他（II） 与 不独立，因为 ；UX11,22PUXPUX（III） 的分布函数Z23220,11,zzFzz【解析】（1）区域 D 的面积 ，因为 服从区域 D 上的均匀31)()210xs ),(yxf分布，所以 23(,).0xyfxy他（2）X 与 U 不独立.因为 111,=0,=,222PPXPYX,所以 ,故 X 与 U 不独立。11,22PUXPU（3） ()01FzzzPXzPU
