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1、共 4 页，第 1-2 页2000 网易杯全国大学生数学建模竞赛题目A 题 DNA 序列分类 2000 年 6 月，人类基因组计划中 DNA 全序列草图完成，预计 2001 年可以完成精确的全序列图，此后人类将拥有一本记录着自身生老病死及遗传进化的全部信息的“天书” 。这本大自然写成的“天书”是由 4 个字符 A，T，C，G 按一定顺序排成的长约 30 亿的序列，其中没有“断句”也没有标点符号，除了这 4 个字符表示 4 种碱基以外，人们对它包含的“内容”知之甚少，难以读懂。破译这部世界上最巨量信息的“天书”是二十一世纪最重要的任务之一。在这个目标中，研究 DNA 全序列具有什么结构，由这 4
2、 个字符排成的看似随机的序列中隐藏着什么规律，又是解读这部天书的基础，是生物信息学（Bioinformatics）最重要的课题之一。虽然人类对这部“天书”知之甚少，但也发现了 DNA 序列中的一些规律性和结构。例如，在全序列中有一些是用于编码蛋白质的序列片段，即由这 4 个字符组成的 64 种不同的 3 字符串，其中大多数用于编码构成蛋白质的 20 种氨基酸。又例如，在不用于编码蛋白质的序列片段中，A 和T 的含量特别多些，于是以某些碱基特别丰富作为特征去研究 DNA 序列的结构也取得了一些结果。此外，利用统计的方法还发现序列的某些片段之间具有相关性，等等。这些发现让人们相信，DNA序列中存在
3、着局部的和全局性的结构，充分发掘序列的结构对理解 DNA 全序列是十分有意义的。目前在这项研究中最普通的思想是省略序列的某些细节，突出特征，然后将其表示成适当的数学对象。这种被称为粗粒化和模型化的方法往往有助于研究规律性和结构。作为研究 DNA 序列的结构的尝试，提出以下对序列集合进行分类的问题：1）下面有 20 个已知类别的人工制造的序列（见下页） ，其中序列标号 110 为 A 类，11-20为 B 类。请从中提取特征，构造分类方法，并用这些已知类别的序列，衡量你的方法是否足够好。然后用你认为满意的方法，对另外 20 个未标明类别的人工序列（标号 2140）进行分类，把结果用序号（按从小到
4、大的顺序）标明它们的类别（无法分类的不写入）：A 类 ； B 类 。请详细描述你的方法，给出计算程序。如果你部分地使用了现成的分类方法，也要将方法名称准确注明。这 40 个序列也放在如下地址的网页上，用数据文件 Art-model-data 标识，供下载：网易网址： 教育频道 在线试题；教育网： News mcm2000教育网： Nat-model-data 中给出了 182 个自然 DNA 序列，它们都较长。用你的分类方法对它们进行分类，像 1）一样地给出分类结果。提示：衡量分类方法优劣的标准是分类的正确率，构造分类方法有许多途径，例如提取序列的某些特征，给出它们的数学表示：几何空间或向
5、量空间的元素等，然后再选择或构造适合这种数学表示的分类方法；又例如构造概率统计模型，然后用统计方法分类等。A共 4 页，第 1-2 页水平面总辐射强度 2000 网易杯全国大学生数学建模竞赛题目(大专组)C 题 飞越北极今年 6 月，扬子晚报发布消息：“中美航线下月可飞越北极，北京至底特律可节省 4 小时” ，摘要如下：7 月 1 日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间，旅客可直接从休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计，如飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省 4 个小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。
6、假设：飞机飞行高度约为 10 公里，飞行速度约为每小时 980 公里；从北京至底特律原来的航线飞经以下 10 处：A1 (北纬 31 度，东经 122 度)； A2 (北纬 36 度，东经 140 度) ；A3 (北纬 53 度，西经 165 度)； A4 (北纬 62 度，西经 150 度); A5 (北纬 59 度，西经 140 度)； A6 (北纬 55 度，西经 135 度) ；A7 (北纬 50 度，西经 130 度)； A8 (北纬 47 度，西经 125 度) ；A8 (北纬 47 度，西经 122 度)； A10 (北纬 42 度，西经 87 度) 。请对“北京至底特律的飞行时
7、间可节省 4 小时“从数学上作出一个合理的解释，分两种情况讨论：（1） 设地球是半径为 6371 千米的球体；（2） 设地球是一旋转椭球体，赤道半径为 6378 千米，子午线短半轴为 6357 千米。 D 题 空洞探测山体、隧洞、坝体等的某些内部结构可用弹性波测量来确定。一个简化问题可描述为，一块均匀介质构成的矩形平板内有一些充满空气的空洞，在平板的两个邻边分别等距地设置若干波源，在它们的对边对等地安放同样多的接收器，记录弹性波由每个波源到达对边上每个接收器的时间，根据弹性波在介质中和在空气中不同的传播速度，来确定板内空洞的位置。现考察如下的具体问题：一块 240（米）240（米）的平板（如图
8、） ，在 AB 边等距地设置 7 个波源 Pi (i=1,7)，CD边对等地安放 7 个接收器 Qj (j=1,7)，记录由 Pi 发出的弹性波到达 Qj 的时间 tij(秒); 在 AD 边等距地设置 7 个波源 Ri (i=1,7)，BC 边对等地安放 7 个接收器 Sj (j=1,7)，记录由 Ri 发出的弹性波到达 Sj 的时间 ij (秒)。已知弹性波在介质和空气中的传播速度分别为 2880（米/ 秒）和 320（米/秒） ，且弹性波沿板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同。1）确定该平板内空洞的位置。共 4 页，第 1-2 页2）只根据由 Pi 发出的弹性波到达 Qj 的时间 t
9、ij(i,j=1,7)，能确定空洞的位置吗；讨论在同样能够确定空洞位置的前提下，减少波源和接受器的方法。tij Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7P1 0.0611 0.0895 0.1996 0.2032 0.4181 0.4923 0.5646P2 0.0989 0.0592 0.4413 0.4318 0.4770 0.5242 0.3805P3 0.3052 0.4131 0.0598 0.4153 0.4156 0.3563 0.1919P4 0.3221 0.4453 0.4040 0.0738 0.1789 0.0740 0.2122P5 0.3490 0.4529 0.2
10、263 0.1917 0.0839 0.1768 0.1810P6 0.3807 0.3177 0.2364 0.3064 0.2217 0.0939 0.1031P7 0.4311 0.3397 0.3566 0.1954 0.0760 0.0688 0.1042 ij S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7R1 0.0645 0.0602 0.0813 0.3516 0.3867 0.4314 0.5721R2 0.0753 0.0700 0.2852 0.4341 0.3491 0.4800 0.4980R3 0.3456 0.3205 0.0974 0.4093 0.4240 0.4
11、540 0.3112R4 0.3655 0.3289 0.4247 0.1007 0.3249 0.2134 0.1017R5 0.3165 0.2409 0.3214 0.3256 0.0904 0.1874 0.2130R6 0.2749 0.3891 0.5895 0.3016 0.2058 0.0841 0.0706R7 0.4434 0.4919 0.3904 0.0786 0.0709 0.0914 0.05832001 年全国大学生数学建模竞赛题目 答卷用 A4 纸，论文题目和摘要写在第一页上，不能有其他任何标志。 从今年起，将提高摘要在整篇论文评阅中所占的权重。 全部题目（包括
12、数据）可以从以下网址下载： 网易教育频道QjA BCDPiRiSj共 4 页，第 1-2 页A 题 血管的三维重建断面可用于了解生物组织、器官等的形态。例如，将样本染色后切成厚约 1 m 的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察。根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固定的球滚动包络形成。现有某管道的相继 100 张平行切片图象，
13、记录了管道与切片的交。图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、 99.bmp，格式均为 BMP，宽、高均为 512 个象素（pixel）。为简化起见，假设：管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1。取坐标系的 Z 轴垂直于切片，第 1 张切片为平面 Z=0，第 100 张切片为平面 Z=99。Z=z 切片图象中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为（-256，-256，z），（-256，-255，z），（-256，255，z），（-255，-256，z），（-255，-255，z），（-255，255，z），（ 255，-256，z），（ 255，-
14、255，z），（255，255，z）。 试计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在 XY、YZ、ZX 平面的投影图。第 2 页是 100 张平行切片图象中的 6 张，全部图象请从网上（http:/）下载。关于 BMP 图象格式可参考：1. Visual C+数字图象处理第 12 页 2.3.1 节。何斌等编著，人民邮电出版社，2001 年 4 月。2. http:/www.dcs.ed.ac.uk/home/mxr/gfx/2d/BMP.txtB 题 公交车调度公共交通是城市交通的重要组成部分，作好公交车的调度对于完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益，
15、都具有重要意义。下面考虑一条公交线路上公交车的调度问题，其数据来自我国一座特大城市某条公交线路的客流调查和运营资料。该条公交线路上行方向共 14 站，下行方向共 13 站，第 3-4 页给出的是典型的一个工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计。公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆标准载客 100 人，据统计客车在该线路上运行的平均速度为 20 公里/小时。运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过 10 分钟，早高峰时一般不要超过 5 分钟，车辆满载率不应超过 120%，一般也不要低于 50%。试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益；等等。如何将这个调度问题抽象成一个明确、完整的数学模型，指出求解模型的方法；根据实际问题的要求，如果要设计更好的调度方案，应如何采集运营数据。Z=1Z=0Z=99Z=98Z=49 Z=50共 4 页，第 1-2 页某路公交汽车各时组每站上下车人数统计表 上行方向：A13 开往 A0站名 A13 A12 A11 A10 A9 A8 A7 A6 A5 A4 A3 A2
