高数二内部模考班datyin

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1、一、数列的极限一般地：有理函数的极限（只看最高次项） mlbalnbammnlln 0 li 010二、函数的极限1、函数极限的计算（1）多项式求极限（直接代入）（2） 趋向定点时有理式求极限（先代入分母，再代入分子） 0)( 0)( )( )( )(lim limn0010 0约 去 零 因 式 xPxxPxPbxbaa mmnnxnn 趋向无穷时有理式求极限（只看最高次项）mnbaxbammnnx 0 li102、无穷小的运算性质有界函数与无穷小的乘积是无穷小.3、一些重要的等价无穷小（ ）0x)0(1)( )0(ln1ln 2cosarctnarcsi是 常 数 xaxexx4、无穷小的

2、等价代换设 且 存在 则 limlimli5、两个重要极限（1） 、第一个重要极限 （ ）1sinl0x1tanli0x注意： 用来保证分子、分母同时0x 上下表达式必须一致（2） 、第二个重要极限 、 （ ）ex)1(limex10)(li en)1(lim注意： 用来保证 ， 底数和指数互为倒数。0x）（ 0三、函数连续性设函数 f(x)在点 x0连续必须满足以下三个条件：(1) f(x)在 x0有定义，即 f(x0)存在(2) f(x)存在0lim(3) f(x) f(x0)0导数与微分一、导数的概念例. 设 存在, 求极限)(0xf .2)()(lim00hxfxfh解： hxfffx

3、ff hh )()(li2)(lim00000 ） ).(21)()(li21 000000 ffhxffffh ） 注：这种题目一般只出填空或选择，我们可以按以下方法解题：这种题目的结果均为： ，其中 等于)(0xfAA分子中 的个数除以分母中 的个数。h二、导数的几何意义曲线 y f(x)在点 M(x0, y0)处的切线方程为： f法线方程为： )(1000xfy三、复合函数的求导法则（从外到里层层求导，外面求导，里面不变）定理 3 若函数 在点 x 处可导, 而 在点 处可导, 则复合函数 在点 x 处可导, 且)(gu)(ufy)(xg)(gfy其导数为 或 )(xfdxy duy【注

4、】复合函数求导首先要弄清楚它是由哪些基本初等函数复合而成的，即弄清楚复合函数的每一层。四、隐函数的导数（牢记 是 的函数）yx如方程 F(x， y)=0 确定了 y=y(x)，只需方程两边对 x 求导，注意 y=y(x)。步骤：（1）方程两边同时对 x 求导（注意 是 的函数）yx（2）解出 y五、对数求导法：先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量 求导，最后解出所求导数. x六、 高阶导数（从低阶到高阶逐阶求导）y(y) f (x)f (x) )(2dxy七、 微分 df导数的应用一、洛必达法则洛必达法则是一种求极限的非常有效的方法，主要用来求解 或 的未定式的极限， 以及可以转化为

5、 或 的00未定式 0 、 的极限。近年考察较为简单，主要是考查：直接用洛必达法则 或 的未定式的极限。0要求：（1）拿到一个极限题首先就要代入，看是不是未定式，是那种类型的未定式。（2）如果是未定式，则可以考虑洛必达法则洛必达法则（ 型与 型未定式）0.)(lim)(lixFfxfaa.)(lim)(lixFfxf【注】 （1）有时一次洛必达法则不能得到极限值，而是得到一个未定式，则可以用多次。（2）洛必达法则可以和其他求极限方法，尤其是等价代换，混合在一起来用。二、函数的单调性：1、单调性判别法设函数 在 a, b上连续, 在( a, b)内可导.)(xfy(1) 若在( a, b)内 ,

6、 则函数 在 a, b上单调增加;0f (xfy(2) 若在( a, b)内 , 则函数 在 a, b上单调减少.(x)步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求单调增加和单调减少的可能的分界点：导数为零的点（驻点）和导数不存在的点，即： 的点和0)(xf不存在的点。)(xf（3）利用上述点去划分定义域，然后在每一个小区间上验证一阶导数的符号，从而确定函数的单调性。三、函数的极值 1、第一充分条件设函数 f(x)在点 x0的一个邻域内连续 在 x0的左右邻域内可导 (1) 如果在 x0的某一左邻域内 f (x)0 在 x0的某一右邻域内 f (x)0 那么函数 f(x)在 x0处取得极大值 (2)

7、 如果在 x0的某一左邻域内 f (x)0 在 x0的某一右邻域内 f (x)0 那么函数 f(x)在 x0处取得极小值 (3)如果在 x0的某一邻域内 f (x)不改变符号 那么函数 f(x)在 x0处没有极值 求函数的极值点和极值的步骤(1) 确定函数 的定义域;)(f(2) 求可能的极值点：求其导数 ，解方程 求出 的全部驻点与不可导点;)(xf 0)(xf)(xf(3) 讨论 在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点;)(xf(4) 求出各极值点的函数值，就得到函数 的全部极值.)(xf2、第二种充分条件 设函数 f(x)在点 x0处具有二阶导数且 f (x0)0

8、 f (x0)0 那么(1) 当 f (x0)0 时 函数 f(x)在 x0处取得极大值 (1) 当 f (x0)0 时 函数 f(x)在 x0处取得极小值 四、函数的最大值和最小值求函数在 上的最大（小）值的步骤如下：,ba（1）计算函数 在一切可能极值点的函数值，并将它们与 相比较，这些值中最大的就是最大值，最)(xf ),(afb小的就是最小值；（函数的最大值在极值点和端点取得）（2）对于闭区间 上的连续函数 ，如果在这个区间内只有一个可能的极值点，并且函数在该点确有极值，,ba)(xf则这点就是函数在所给区间上的最大值（或最小值）点.五、曲线的凹凸性：设 在 a, b上连续, 在( a

9、, b)内具有一阶和二阶导数,则)(xf(1) 若在( a, b)内， 则 在 a, b上的图形是凹的;,0)xf(xf(2) 若在( a, b)内， 则 在 a, b上的图形是凸的.,()连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为：(1) 求函数的二阶导数 ；)(xf(2) 令 ，解出全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点；0)(xf(3) 对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧 的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点.)(xf不定积分一、不定积分1、原函数如果在区间 I 上,可导函数 F(x)的导函数为 f(x),即对任一 xI,都有F (

10、x)f(x)或 dF(x)f(x)dx那么函数 F(x) 就称为 f(x) (或 f(x)dx) 在区间 I 上的一个原函数2、不定积分的定义在区间 I 上,函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或 f(x)dx )在区间 I 上的不定积分,记作 dxf)(3、不定积分的性质性质 1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和,即dxgxfdgxf )()()(性质 2 求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来 ,即: (k 是常数, k dxfxkf)(0)二、换元积分法1、第一换元法（凑微分法）（1） 、直接凑要求不定积分，首先考虑能否用公式，即能否直接

11、用公式，基本公式中没有相同的，就找相近的公式如果有相近的，就用直接凑。特点：能在积分基本公式中找到相近的积分公式【注】 积分公式的特点是三个一致，即被积函数、积分变量和积分结果中都是 ，是一致的，而所求积分中被积x函数和积分变量往往是不一致的，所以做题时要凑成一致的。（2） 、间接凑间接凑就是不定积分本身在积分公式中找不上相同或相近的，但是通过凑微分，变形，可以凑成形式上和公式相同的，从而利用性质和公式来解决问题的方法。其本质就是先凑微分，再凑公式。特点：被积函数中含有导数关系。2、第二类换元法（目的是为了去掉被积函数中的根号）（1） 、根式换元特点：被积函数中含一般根式，直接换元，根号是谁就

12、换谁三、分部积分法分布积分法主要用来求解函数乘积的不定积分，当被积函数是两个函数的乘积，而又没有导数关系时，考虑分部积分法。1、分部积分法原则vduuvdxux分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算.2、 的确定原则,u从上面例子可以看出， 的确定是进行分部积分的关键，一般情况下有以下法则：,u指三幂对反，前为 后为 ； 与 结合变为dxv【注】 （1）有时用一次分部积分不能得到最后结果，需要用多次。（2）有时通过两次分部积分后产生循环式, 从而解出所求积分。（3）有时被积函数只是一个函数，也可以用分部积分。定积分一、定积分的概念（本质是和式的极限）设 在 上有界，经过（1）

13、大化小.（2）常代变 （3）近似和（4）取极限得到)(xf,ba，niiiba xfIdxf10)(lm)(二、积分上限函数的导数变上限积分主要考查它的求导性质，考试时遇到变上限积分的问题都要进行求导，主要的考查题型是：直接给一个变限积分，进行求导；定积分求导；含有变限积分的极限问题。定理 如果函数 f(x)在区间 a b上连续 则函数 ( x) 在 a b上具有导数 并且它的导数为：dxfa(x) (ax0，则称 ，为在事件 B 发生的条件下，事件 A 的条件概率。 同)(|(PB样,如果 P（A）0， 则称 为在事件 A 发生条件下，事件 B 的条件概率。)(|(A定理: 如果 ，则有 ；

14、如果 ，则有 。0)(B)|(BBP 0)()|()(ABPA四、事件独立性重点设 A，B 为两个事件，如果 ，则称事件 A 与事件 B 相互独立。)()(A五、离散型随机变量及其概率分布重点如果随机变量 X 的所有可能取值为有限个或可列个，则称随机变量 X 为离散型随机变量。 设 X 的所有可能取值为 x1，x 2，x n，则称下列一组概率 PX=xi=pi，i=1,2,，n, 为 X 的分布律。分布律也常常写成表格形式X1x2 nxPp p要求：在理解离散型随机变量概念的基础上，掌握分布律的定义，会求离散型随机变量的分布律（求分布律就是求随机变量取每一个值的概率） 。【注】分布律必须满足其两个性质，即：每一个都大于等于零，所以的加起来等于 1.六、期望和方差重点设离散型随机变量 的分布律为:X1x2 nxPp p则数学期望： . )(XE1kpx设 是一个随机变量。若 存在，则称 为 的方差，记为 ，即2)(XE2)(XE)(XD。2)()(XD与 X 具有相同量纲的量 称为 的均方差或标准差，记为 。)(Dx要求：在理解数学期望和方差概念的基础上，会计算离散型随机变量的数学期望和方差。