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1、合肥学院高等数学（下）复习提纲- 1 -第五章 向量与解析几何向量代数定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示向量 有大小、有方向. 记作 或aABa(,)xyzxyzijaka,yzzprrprj模 向量 的模记作a 22xz和差cabcab cab,xyzab单位向量 ，则0ae ae22(,)xyza方向余弦设 与 轴的夹角分别为 ，则a,xyz， ，方向余弦分别为 cos， ， coscosyx z， s， cosae(， ， )222cos1+cs点乘（数量积） ， 为向量 a 与 b 的夹角csab xyzba叉乘（向量积） cabsin为向量 a 与 b 的夹角向量 与
2、， 都垂直c xyzbijk定理与公式垂直 0ab 0xyzaa平行 /xyzbb交角余弦 两向量夹角余弦 cosab222cosxyzxyza投影向量 在非零向量 上的投影 acos()babprj 22xyzbbaprja合肥学院高等数学（下）复习提纲- 2 -平面 直线法向量 点,nABC00(,)Mxyz方向向量 点,Tmnp00(,)Mxyz方程名称 方程形式及特征 方程名称 方程形式及特征一般式 xyzD一般式 11220AxBCzDy点法式 000()()()ABC点向式 00mnp三点式111222333xyz参数式0xtyzt截距式 1xyzabc两点式 000111xzy面
3、面垂直 12120ABC线线垂直 22mnp面面平行 22线线平行 1122线面垂直 mnp线面平行 0ABnCp点面距离00(,)Mxyz0AxByCzD 面面距离 10AxByCzD2xyzD022d 2dABC面面夹角 线线夹角 线面夹角11,nABC22,nAB11,mnps22,nps ,mnps,ABC12221| |cos C12221co 222i pn合肥学院高等数学（下）复习提纲- 3 -切“线”方程： 000()()xyzttt() xtyz，()t切向量 00(),(,)Tttt法平“面”方程： 00000()()()txtytz切“线”方程： 0001()()xx空间
4、曲线： ()yxz切向量 (1,),(Tx法平“面”方程： 0000()()()xxyz(,)0Fxyz法向量 0(,),xyznF切平“面”方程： 0000(,)(,)(x xFzFyzy法“线“方程： 000(,)(,)(,)xyzFzxFxy切平“面”方程： 00000(,)(,)()xyfxfyz空间曲面： (,)zfxy0(,)1xynf或 0(,)1xynf 法“线“方程： 000(,)(,)1xyzffx合肥学院高等数学（下）复习提纲- 4 -第六章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集
5、。2、 多元函数： ，图形.(,)zfxy3、 极限： 0(,),)limxyA4、 连续： 0 0(,),)(,(,)xyfxyf5、 偏导数： 000 ,( ,),lixxxyfyf000(,)(,)(,)limyyfxyfxfx6、 方向导数： 其中 为 的方向角。cossffly,l7、 梯度： ，则 。(,)zfxy000(,)(,)(,)xygradffifxj8、 全微分：设 ，则,f dz（二） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1） 定义： 2） 复合函数求导：链式
6、法则若 ，则 ， (,)(,)(,)zfuvxyvzuzvxxzuvyyzuvwxy合肥学院高等数学（下）复习提纲- 5 -3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组） （三） 应用1、 极值1） 无条件极值：求函数 的极值(,)zfxy解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点 ，令0xyf 0(,)xy， ， ，0(,)xAf 0(,)xyBf 0(,)yCfx 若 ， ，函数有极小值，2CA若 ， ，函数有极大值； 若 ，函数没有极值；20 若 ，不定。AB2） 条件极值：求函数 在条件 下的极值(,)zfxy(,)0xy令： Lagrange 函数(,)(,),Lxyf解方程组 0(,)
7、yx2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线 ，则 上一点 （对应参数为 ）处的():xtyz0(,)Mxyz0t切线方程为： 000()()xyttzt法平面方程为： 0000()()xyzt2） 曲面的切平面与法线曲面 ，则 上一点 处的切平面方程为：:(,)Fxyz0(,)Mxz000 00,(,),()x y zxzyFyz法线方程为： 000(,)(,)(,)xyzxx合肥学院高等数学（下）复习提纲- 6 -第七章 重积分重积分积分类型 计算方法 典型例题（1） 利用直角坐标系X型 21()(,),bxaDfxydfydY型 21(), ,dcyf f P94例 1、 2、4P10
8、63、4（2）利用极坐标系使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含 , 为实数 )2()xy21()cos,ins,i)Dfddf0202P100例 5P103例 8P1077、8（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当 D 关于 y 轴对称时， （关于 x 轴对称时，有类似结论）1 10(,)(,)2(,),()(,)DfyfyIfxydfxfxD对 于 是 奇 函 数 ，即 对 于 是 偶 函 数 ，即 是 的 右 半 部 分P1065应用该性质更方便二重积分 ,dDIfxy平面薄片的质量质量=面密度面
9、积计算步骤及注意事项1 画出积分区域2 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离合肥学院高等数学（下）复习提纲- 7 -3 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域5 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性(1) 利用直角坐标 投 影 法 (先 单 后 重 ， 先 一 后 二 )截 面 法 （ 先 重 后 单 ， 先 二 后 一 ）投影 2211()(,)(,)dd,)dbyxzxyafxyzVfz P111例 1；P1172（1）P111例 2；P1172（2）（2） 利用柱面坐标 cosinxry
10、z相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围:积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如 22()()fxyfz21()(,)dcos,in,dbrafxyzVzfz P113例 3；P1172（3,5）（3）利用球面坐标 icssicoxryzdvd2n适用范围:积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体.被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如， 22()fxyz222111(,)dsinco,sin,cosindIf P116例 5、6三重积分 (,)Ifxyzdv空间立体物的质量质量=密度面积（4）利用积分区域的对称性与被积函
11、数的奇偶性 P113例 4；P1172（5）合肥学院高等数学（下）复习提纲- 8 -第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型 计算方法 典型例题第一类曲线积分 (,)LIfxyds曲形构件的质量质量=线密度弧长参数法（转化为定积分）（1） :()Lyx22(),()Iftttd（2） :()tt 2,1bafxyx（3） )r()cos:inrL22()cos,(i()Ifrd P137-例1、2、3（1） 参数法（转化为定积分） (): )xtLy单 调 地 从 到d(,(),()dLPQPttQtt P141-例 1、例2、例 3（2）利用格林公式（转化为二重积分）条件：L 封
12、闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域 D）P，Q 具有一阶连续偏导数结论： ()LDQPdxydxyA应用：满 足 条 件 直 接 应 用有 瑕 点 ， 挖 洞不 是 封 闭 曲 线 ， 添 加 辅 助 线 P1551（3）利用路径无关定理（特殊路径法）等价条件： QPxy0LPdxQyA 与路径无关，与起点、终点有关Ld 具有原函数Pxy(,)uxy（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）P152-例 345平面第二类（对坐标的）曲线积分LIdxy变力沿曲线所做的功（4）两类曲线积分的联系 (cos)LLIPdxQyQdsP143例 5空间第二类（对（1）参数法（转化为定积分） P143例 4
13、P1774合肥学院高等数学（下）复习提纲- 9 -坐标的）曲线积分LIPdxQyRz变力沿曲线所做的功(),() (),() PdxyRzPttQttd （2）利用斯托克斯公式（转化第二类（对坐标的）曲面积分）条件：L 封闭，分段光滑，有向P，Q，R 具有一阶连续偏导数结论： ()()()LdxyRzQPRQpddzxdxyA应用： 满 足 条 件 直 接 应 用不 是 封 闭 曲 线 ， 添 加 辅 助 线第一类曲面积分 (,)IfxyzdS曲面薄片的质量质量=面密度面积投影法 ： 投影到 面(,)zxyxoy2(,)1xy xyDIfdSfzzd 类似的还有投影到 面和 面的公式o P15
14、8-例 1、例2（1）投影法 (,)yzDPdpxzdy： ， 为 的法向量与 轴的夹角,x前侧取“+”， ；后侧取“ ”，cos0cos0(,),yzDQxzd： ， 为 的法向量与 轴的夹角,)y右侧取“+”， ；左侧取“ ”，cos0cos0(,)yzDQdxxydx： ， 为 的法向量与 轴的夹角,)上侧取“+”， ；下侧取“ ”，cos0cos0P167-例 1;P16812第二类（对坐标 的）曲面积分IPdyzxR流体流向曲面一 侧的流量（2）高斯公式 右手法则取定 的侧条件： 封闭，分片光滑，是所围空间闭区域 的外侧P，Q，R 具有一阶连续偏导数结论： ()PQRdyzRdxyxyz
