解不等式中及常见错误分析

－ 1 －不等式概念及性质错解档案同学们由于初学不等式，受以前等式的迁移影响以及对不等式新知识的理解不透，可能会出现这样那样的错误，从而导致学习效率的降低.本文就不等式基础知识中常出现的问题归纳存档，希望帮助大家绕出谜区，走向成功.档案 1：错误理解不等式概念例 1. 下列四个式子中：① 0x② 2a③ 1④ by是不等式的有（ ）A. ①③ B. ②③④ C. ①②③④ D. ②④错解: 选 A.剖析:概念不清致错.要判断一个式子是否为不等式 ,关键是看这个式子是不是用不等号连结.常见的不等号有: 、、、、 ，所以①②③④都是不等式.正解：选 C.档案 2：忽略“=”的意义例 2.用不等式表示下列语句.（1） m的 2 倍不大于 n的 10；（2） x的 31与 y的和是非负数.错解：（1） ；（2） 0.剖析：忽略“=”致错.“ 不大于”用不等号表示为“ ”， “非负数”表示为“ ”.正解：（1） nm10；（2） 3yx.档案 3：混淆不等式的解与解集例 3.判断正误：（1） 8是 16的解集；（2） 3x是 152的解；（3）由于小于 10 的每一个数都是不等式 x的解，所以这个不等式的解集是x＜10.错解：（1）√ （2）√ （3）√.剖析：同一个不等式的解和解集是不同的，解是指适合不等式的一个数，而解集则是指适合不等式的解的全体.（1）中 8x是 16的一个解；（2）中 3x是52x的解集；（3）中不等式的解集应是 x＜14.正解：（1）× （2）× （3）×.档案 4：不明数轴表示的方向与极点例 4.不等式 5x的解集在数轴上表示正确的是( )－ 2 －A.  B.  –2 0 2 0 2 4C.  D.  0 2 4 0 2 4错解:解不等式,得 x,所以选 B.剖析:错解的原因是不明解集在数轴上表示的规则.在数轴上表示不等式的解集,应注意：①找准分界点；②方向：大于右拐,小于左拐；③极点：有等是实心点 ,无等是空心圈.正解：解不等式，得 2x,所以选 D.档案 5：忽视“性质 3”的特殊性例 5.解不等式 54 ．错解：不等式两边同除以 2，得 x．剖析：不等式两边同除以 5，根据不等式性质 3，不等号方向必须改变，而错解中未改变方向故出错．望大家从等式顺势影响中迅速脱离，铭记不等式性质 3 的“另类”特色.正解：不等式两边同除以 2，得 x．档案 6：粗心大意、马虎了事例 6.请你求出符合解集 53的所有整数解的和.错解：符合解集 x的所有整数解是－2，－1，1，2，3，4，5.剖析：错误原因在于不仔细审题、严密思考，导致错误叠出：①漏掉－3、0，却多了5；②题目要求是求出符合解集 5的所有整数解的和，而非求所有整数解.正解：符合解集的整数解是－3，－2，－1，0，1，2，3，4. 所有整数解的和为 4.档案 7：思维僵化、考虑不周例 7.解关于 x的不等式 1)(ax.错解：不等式两边同除以 ，得 .剖析：对于不等式中未知数的系数 可能取正数、负数，也可能取 0，因此解不等式时，要分类讨论．这也告诫我们：遇有字母系数，务必引起高度重视.正解：（1）当 1a，即 0时， 1x；（2） a，即 1时，不等式变为 0，显然不成立，故不等式无解（即空集）；（3）当 ，即 0a时，x.－ 3 －解不等式中的常见错误分析在批改同学们作业时，发现同学们常出现这样一些错误，现作分析，供参考．一、性质理解有误．我们知道，在不等式两边同乘上（约去）一个数或同一个整式，要考察其正负性或是0！它是正的，则不变不等号的方向，而负的要改变不等号的方向．例 1：若 a＞b，c 是不为 0 的数，则正确的是　　　　　　　　　　（　）A、ac＞bc　　　　　　　 B、ac ＜bcC、ac 2　 ≥bc2　　　　　　　D、 （c+1）a＞（c+1 ）b误：选 D．析与答：c 可能是正，亦可能是负，A 、B 均错．C 不一定大于－1，则 D 亦错．由 c2的非负性知 C 对．例 2：若(a+1)x> a+1 的解集是 x－ 15．诊断：错解在去括号时，括号前面的数 2 没有乘以括号内的每一项．正解： 去括号，得 3x+4－ 8x－ 3．二、去括号时，忽视括号前的负号例 2 解不等式 5x－ 3(2x－ 1)>－ 6．错解：去括号，得 5x－ 6x－ 3>－ 6，解得 x－ 6，所以 － x>－ 9，所以 x14，解得 x> ．419诊断：去分母时，如果分母是一个整式，去掉分母后要用括号将分母括起来．错解在去掉分母，忽视了分数线的括号作用．正解： 去分母，得 6x－ (2x－ 5)>14，去括号，得 6x－ 2x+5>14，解得 x> ．49五、去分母时，漏乘不含分母的项例 5 解不等式 x－ > +1312错解：去分母，得 x－ 2(x－ 1)>3x+1，去括号，解得 x3x+6，去括号，得 6x－ 2x+2>3x+6，解得 x>4．六、不等式两边同除以负数，不改变方向－ 6 －例 6 解不等式 ．3523xx错解：去分母，得 5(x－ 2)－ 3(5－ 2x)5．七、忽视了字母的范围例 7 解关于 x 的不等式 m(x－ 2)>x－ 2．错解：化简，得(m － 1)x>2(m－ 1)，所以 x>2．诊断：错解在默认为 m－ 1>0，实际上，m － 1 还可能小于或等于 0．正解： 化简，得(m － 1)x>2(m－ 1)，当 m－ 1>0 时， x>2；当 m－ 10解不等式②得：x0解不等式②得：x”表示大于、高出、多于、超选，“<”表示小于、低于、不足、合算， “ ”表示大于或等于、不少于、不低于、至少“ ” 表示小于或等于、不大于、不超是、至多。

正解：设精加工的吨数为 x 吨，则粗加工的吨数为（ ）吨，加工这批荷藕需要 x60（ ）天，可获利 [ ]元，由题意得8605.x105，解得3.01600xx 25x－ 9 －所以精加工的吨数在 ，该企业加工这批荷藕的获利不低于 80 000 元125x。