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1、Comment g1: 正炫定理就可以推导（把其中一个正炫替换掉）1正弦定理和余弦定理知识回顾1正弦定理：_2R，其中 R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：(1)abc_；(2)a_，b_，c_；(3)sin A_，sin B_，sin C_等形式，以解决不同的三角形问题2余弦定理：a 2_，b 2_，c 2_.余弦定理可以变形为：cos A_，cos B_，cos C_.3S ABC absin C bcsin A acsin B (ab c)r(r 是三角形内切圆的半径)，并12 12 12 abc4R 12可由此计算 R、r.4在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角
2、及任一边，求其它边或角； (2)已知两边及一边的对角，求其它边或角情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分余弦定理可解决两类问题： (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2) 已知三边问题难点正本疑点清源解三角形时，三角形解的个数的判断在ABC 中，已知 a、b和 A时 ，解的情况如下：A为锐角 A为 钝 角或直角图形关系式 ab sin A bsin Ab解的个数 一解 两解 一解 一解基础自测1(课本精选题)在ABC 中，若 A60，a ，则 _.3a b csin A sin B sin C2(2010北京)在ABC 中，若 b1，c ，C ，则 a_.3233(课本改
3、编题)在ABC 中，a15，b10，A60，则 cos B_.4ABC 的三个内角 A、B 、C 所对边的长分别为 a、b、c，已知 c3，C ，a2b，3则 b的值为_5已知圆的半径为 4，a、b、c 为该圆的内接三角形的三边，若 abc16 ，则三角形的22面积为 ()A2 B8 C. D.2 2 222典例分析题型一利用正弦定理求解三角形例 1 在ABC 中，a ，b ，B45. 求角 A、C 和边 c.3 2探究提高(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，
4、应引起注意(典例新编) 已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，若a1，b ，AC2B，则角 A 的大小为_3题型二利用余弦定理求解三角形例 2 在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 .cos Bcos C b2a c(1)求角 B 的大小；(2)若 b ，ac 4，求 ABC 的面积13探究提高(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，且满足 cos ，A2 255 3.
5、AB AC (1)求ABC 的面积；(2)若 bc6，求 a 的值题型三正、余弦定理的综合应用例 3 (2011浙江 )在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 sin Asin C psin B (pR) ，且 ac b2.14(1)当 p ，b1 时，求 a，c 的值；54(2)若角 B 为锐角，求 p 的取值范围3探究提高在已知关系式中，若既含有边又含有角通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边长分别是 a，b，c.(1)若 c2，C ，且ABC 的面积为 ，求 a，b 的值；3 3(2)若 sin
6、 Csin(BA) sin 2A，试判断ABC 的形状例 3试题：(12 分)在ABC 中，若(a 2b 2)sin(AB)(a 2b 2)sin(AB) ，试判断ABC的形状审题视角(1)先对等式化简，整理成以单角的形式表示(2)判断三角形的形状可以根据边的关系判断，也可以根据角的关系判断，所以可以从以下两种不同方式切入：一、根据余弦定理，进行角化边；二、根据正弦定理，进行边化角规范解答解(a 2b 2)sin(AB)(a 2b 2)sin(AB)，b 2sin(AB)sin(AB) a 2sin(AB)sin(AB)，2sin Acos B b22cos Asin Ba 2，即 a2cos
7、 Asin Bb 2sin Acos B 4 分方法一由正弦定理知 a2Rsin A ，b2Rsin B，sin 2Acos Asin Bsin 2Bsin Acos B，又 sinAsin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B. 8 分在ABC 中，0 b Bab，A 60 或 A120.当 A60时，C180 456075 ，c ；bsin Csin B 6 22当 A120时，C180 4512015 ，c .bsin Csin B 6 22变式训练 16例 2 解(1)由余弦定理知：cos B ，a2 c2 b22accos C .a2 b2 c22
8、ab将上式代入 得：cos Bcos C b2a c ，a2 c2 b22ac 2aba2 b2 c2 b2a c整理得：a 2c 2b 2ac .cos B .a2 c2 b22ac ac2ac 1213B 为三角形的内角，B .23(2)将 b ，ac4，B 代入 b2a 2c 22ac cos B，1323得 b2(ac) 22ac 2accos B，13162ac ，ac3.(1 12)S ABC acsin B .12 334变式训练 2解(1)cos ，A2 255cos A2cos 2 1 ，A2 35sin A .又 3，bccos A3，bc5.45 AB AC S ABC
9、bcsin A 5 2.12 12 45(2)由(1)知，bc5，又 bc6，根据余弦定理得 a2b 2c 22bccos A(bc )22bc 2bccos A361010 20，a 2 .35 5例 3 解(1)由题设并由正弦定理，得Error! 解得Error! 或Error!(2)由余弦定理，b 2a 2c 22ac cos B(ac )22ac 2accos Bp 2b2 b2 b2cos B，12 12即 p2 cos B.32 12因为 00，所以 0，从而有 sin A ，32A60或 120，A 是锐角，A60.(2)10 bcsin 60，bc40，312又 72b 2c
10、22bc cos 60，b 2c 289.8解sin B4cos Asin C，由正弦定理，得 4cos A ，b2R c2Rb4ccos A，由余弦定理得 b4c ，b2 c2 a22bcb 22(b 2c 2a 2)，b 22(b 22b) ，b4.B 组1D2.D3A460 正三角形 546.47解(1)由已知， 根据正弦定理得2a2(2bc) b(2c b)c，即 a2b 2c 2bc . 由余弦定理得 a2b 2c 22bccos A，故 cos A ，又0 A180，1215A120.(2)由得sin2Asin 2Bsin 2Csin Bsin C. (sin Bsin C) 2s
11、in Bsin C ，34又 sin Bsin C1， sin Bsin C . 14解联立的方程组，得 sin Bsin C .12因为 0B60，0C60，故 BC.所以ABC 是等腰的钝角三角形8解(1)BC A，即 ，B C2 2 A2由 4sin2 cos 2A ，B C2 72得 4cos2 cos 2A ，A2 72即 2(1cos A)(2cos 2A1) ，72整理得 4cos2A 4cos A1 0，即(2cos A1) 20.cos A ，又 0A180，A60.12(2)由 A 60，根据余弦定理 cos A ，b2 c2 a22bc即 ，b 2c 2bc3， b2 c2 a22bc 12又 bc3， b 2c 22bc9. 整理得：bc2. 解联立方程组得Error!或Error!
