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1、 第 1 页经典易错题会诊与试题预测(六)考点 6 平面向量 经典易错题会诊命题角度 1 向量及其运算命题角度 2 平面向量与三角、数列命题角度 3 平面向量与平面解析几何命题角度 4 解斜三角形探究开放题预测 预测角度 1 向量与轨迹、直线、圆锥曲线等知识点结合预测角度 2 平面向量为背景的综合题命题角度 1 向量及其运算1 (典型例题)如图 6-1，在 RtABC 中，已知 BC=a，若长为 2a的线段 PQ以点 A为中点，问 PQ与 BC 的夹角 取何值时 BP CQ的值最大?并求出这个最大值 考场错解 ,|)()(, 2BPCBQBCQBCPB 此后有的学生接着对上式进行变形，更多的不
2、知怎样继续专家把脉 此题是湖北省 20典型例题)已知，|a|= 2，|b|=3，a 与 b的夹角为 45，当向量 a+b与 a+b 的夹角为锐角时，求实数 A的范围考场错解 由已知 ab=|a|b|cos45=3，a+b 与 a+b 的夹角为锐角，(a+b)(a+b)0即 |a|2+|b|2+(2+1)ab=0，2+9+ 3(2+1)0，解得 68516851或 实数 的范围是 6851,6851专家把脉 解题时忽视了 a+b 与 a+b 的夹角为 0的情况，也就是(a+b)(a+b)0 既包括了 a+b 与 a+b 的夹角为锐角，也包括了 a+b 与 a+b 的夹角为 0，而 a+b 与 a
3、+b 的夹角为 0不合题意对症下药 由已知 ab=|a|b|，|b|cos45=3又 a+b 与 a+b 的夹角为锐角，(a+b)(a+ b)0，且 a+b(a+b)(其中 k,0)由(a+b) (a+b)0，得|a| 2+|b| 2+( 2+1)ab0即 3 2+11 +30，解得 68516851或由 a+b (a+b)，得 1,，即 1，综上所述实数 的取值范围是(-， 6851,1)(1，+) 第 2 页3(典型例题)已知 O为ABC 所在平面内一点且满足 032OCBA，则AOB 与AOC 的面积之比为 ( )A1 B. 32.C D2考场错解 OCBOBAO 在 BC边上，且 |2
4、|OCB ,又AOB 与AOC 高相等，AOB 与AOC 的面积之比为 2，选 D专家把脉 缺乏联想能力，将常用结论记错是本题错误的原因，实际上只有 O为ABC 的重心的情况下，才有 CBOA，而本题无此已知条件对症下药 (1)如图 6-3，在 AB上取一点 D，使 OBAOAD 32121,2|,2| 得的 比分 又由已知 ,321OCDBACO为 CD的中点，不妨设 S AOC =S，则 S AOD=S(两者等底同高),23|),|(,21SBASABOAOB 的面积与AOC 的面积之比为 3：2，选 B(2)不妨设 A(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，O(x,y)，则由专家会诊向量
5、的基本概念是向量的基础，学习时应注意对向量的夹角、模等概念的理解，不要把向量与实数胡乱类比；向量的运算包括两种形式：(1)向量式；(2)坐标式；在学习时不要过分偏重坐标式，有些题目用向量式来进行计算是比较方便的，那么对向量的加、减法法则、定比分点的向量式等内容就应重点学习，在应用时不要出错，解题时应善于将向量用一组基底来表示，要会应用向量共线的充要条件来解题.考场思维调练 1 ABC 内接于以 O为圆心，1 为半径的圆，且 .432OCBOA(1)求 |AB1 答案：由已知得 2 CBA43，所以6214|2| )(|.41,1|,|16|912|,|16)3( 2 222 OBO OABOB
6、ACOBACOBCA 即(2)求ABC 的面积 答案：设AOB=，AOC= ，BOC= ，由 OA B= 41，得 cos= 41，sin= 415，S AOB = 第 3 页21|OA| B|sin= 2111 8154同理可求得 cos=-16，sin = 1563，S AOC = 1532cos=- 87，sinr= ，S BOC = 2 .6由于 为锐角， ,为钝角，所以 OC不可能在AOB 内部，故AOB、AOC、BOC 互不重叠S ABC=SAOB + SAOC +SBOC = 153292 已知向量 a=(1，1)，b：(1，0)，c 满足 ac=0，且|a|=|c|，bc0(1
7、)求向量 c；答案：设 =(m，n)，由 ac=0，得 m+n=0 再由，|a|=|c|，得 m2+n2=2，联立 20nm，解得 m=1，n= -1或 m=-l，n=1，又b，c=(1，0)(m，n)=m0m=1，n=-1，c=(1，-1)(2)若映射 f:(x，y)+(x ，y )=xo+yc，将(x，y)看作点的坐标，问是否存在直线 l，使得 l上任一点在映射 f的作用下的点仍在直线 l上，若存在，求出直线 l的方程，若不存在，请说明理由答案： xa+yc=y(1，1)+y(1，-1)=(x+y，x-y)，则 f:(x，y)(x+y，x-y)假设存在直线 l满足题意当 l的斜率不存在时，
8、没有符合条件的直线 l;当 l的斜率存在时，设 l：y=kx+m，在 l上任取一点p(x0,y0)，则 p在映射 f作用下的点 Q(x0+y0，x 0-y0)，Q 也应在 l上，即 x0-y0=k(x0+y0)+m又(x 0，y 0)在l上y 0=kx0+m，整理得(1-2k-k 2)x0-(k+2)m=0，此式对于任意 x0恒成立1-2k-k 2=0，(-k+2)m=0解得 k=-1 2，m=0，综上所述，存在直线 l：y=(-1 2)x符合题意3 已知 A、B、C 三点共线，O 是该直线外一点，设 OA=a， ,cCbB且存在实数 m，使 ma-3b+cO成立求点 A分 所成的比和 m的值
9、答案：解：设点 A分 所成比为 ，则 B= C，所以 - =( O- A)即 a-b=(c-d)，则(1+)a-b-c=0 (1)由已知条件得 c=3b-ma代人(1)得(1+)a-b-3b+ma=0，即(1+m)a-(1+3)b=0 OBA不共线，a、b 不共线1+m=0，1+3=0，解得 =- 31，m=2A 分 BC所成的比为- 31，m=21.（典型例题）设函数 f(x)=ab,其中 a=(2cosx,1),b=(cosx, 3,3x且 )求 x;(2)若函数 y=2sin2x的图像按向量 c=(m,n)(|m|0，sin2=cos，由于 cos0，得 sina= 21 ，则 cos=
10、 23 第 6 页2设向量 a=(cos23，cos67)b=(cos68，cos22)，c =a+tb(tR)，求|c|的最小值 答案：解：|a|= 167cos23s=1，|b|= 68co=1ab=cos23cos68+cos67cos22=cos23cos68+sin23sin68=cos(23-68)= 2|c| 2=(a+tb)2=|a|2+t2|b|2+2tab=t2+1+ t 21. |c|的最小值为 ，此时 t=-3 已知向量 a=(2，2)，向量 b与 a的夹角为 43，且 ab=-2(1)求向量 b;答案：设 b=(x，y)，ab=-2，2x+2y=-2，即 x+y=-1
11、，(1)，又a 与 b的夹角为 43，|b|=43cos|ab=1，x 2+y2=1 (2)，联立(1)、(2)得 x=-1，y=0 或 x=0，y=-1，b=(-1，0)或 b=(0，-1)(2)若 t=(1，0)且 bt，c=(cosA，2cos2 2c)，其中 A、C 是ABC 的内角，若三角形的三个内角依次成等差列，试求，|b+c|的取值范围答案：由题意得 B= 3，A+C= 2，bt，t=(1，0)，b=(0，-1)，b+C=(cosA，cosC)，|b+C|2=cos2A+cos2c=1+ 1(cos2A+cos2C)1+ 1cos2A+cos2( 3-A)=1+ cos(2A+
12、3)，0AbO)由已知得 c=m， .3,2,1mac故所求的椭圆方程是 .14yx(2)设 Q(xQ，y Q)，直线 l的方程为 y=k(x+m)，则点 M(0，km)，M、Q、F 三点共线，|2|FM， F2当 时，由于 F(-m，0)，M(0，km)，由定比分点坐标公式，得 ,31,2kmyxQ又 Q在椭圆;62,1279,1342 kkmyx解 得有上同理当 .0,3,mQFM解 得有时 故直线 l的斜率是 0， .622(典型例题)如图 64，梯形 ABCD的底边 AB在 y轴上，原点 O为 AB的中点，|AB|=.324|,34CDACBD，M 为 CD的中点(1)求点 M的轨迹方
13、程；(2)过 M作 AB的垂线，垂足为 N，若存在常数 o，使 PNMo，且 P点到 A、B 的距离和为定值，求点 P的轨迹 C的方程考场错解 第(2)问：设 P(x，y)，M(x o，y o)，则 N(0，y o)PNyxPyxoo又),(),(x-x o=- ox,y-yo= o(yo-y)， o=-1专家把脉 对 NM分析不够，匆忙设坐标进行坐标运算，实际上 M、N、P 三点共线，它们的纵坐标是相等的，导致后面求出 o=-1 是错误的对症下药 (1)解法 1：设 M(x，y)，则 C(x，-1+ ,0),321,()32 BDACyxDy得由即(x，y-1)(x，y+1)=0，得 x2+y2=1，又 x0，M 的轨迹方程是:x 2+y2=1(x0)解法 2：设 AC与 BD交于 E，连结 EM、EO，AC+BD，CED=AEB=90，又 M、O 分别为 CD， AB 第 8 页的中点， |21|,21| ABEOCDM，又 E为分别以 AB、CD 为直径的圆的切点，O、C、M 三点共线， |OM|=|OE|+|AB|=1，M 在以原点为圆心 1为半径的圆上，轨迹方程为 x2+y2=1(x0)(2)设 P(x，y)，则由已知可设 M(xo，y)，N(0，y)，又由 MP= oPN得(x-x o，0)= o(-x，0)，x o=(1+
