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1、第三章 多变量系统的极点、零点和稳定性Poles, Zeros and Stability of Multivariable Feedback Systems本章内容： 传递函数的 Smith-McMillan 标准形 传递函数的极点和零点 传递函数的矩阵分式描述(MFD) 系统的内稳定 奈奎斯特稳定判据3.1 Introduction多变量系统的传递函数矩阵 transfer-function matrix1()()()ijGsCIABDgs是有理真分式(rational proper fraction)，对多变量系统的研究很ijg多时候采用状态空间模型。最基本的两个系统的连接(connec
2、tion)：串联(series)、并联(parallel)和反馈 (feedback) 连接。一个反馈系统如图 2.1(c) 【P85 】 ，有关系式112221(), (),yGsuyGsuu则 (注意乘积的顺序)11121()()() ysIGssu回差(return difference)： 1221(), ()IGsIGs回比(return ratios)：1221(), ()ss3.2 传递函数的 Smith-McMillan 形式对极点、零点的一般化研究，需要 Smith-McMillan 标准形式.单模阵(幺模阵, unimodular)： 与 都是多项式矩阵.()Us1()s或
3、 常数(与 s 无关)det()Usc初等矩阵(elementary matrix)：单位矩阵经过一次初等变换(elementary operations)后的矩阵。初等变换：交换两行或列；用常数乘以某行或列；某行或列乘一多项式加到另一行上。两个矩阵等价， 与 等价，记为 ：()Ps()Qs()()PsQ11()() ()l rPsLsRs 定理 3.1：任意多项式矩阵等价于一个伪对角多项式，形式为Smith 标准型 Smith form (pseudo-diagonal polynomial matrix)：12()()diag(),(),0,rPsSss 是首一(monic)多项式，是 的
4、不变因子，且满足：i P(整除特性 divisibility property)1()(),iisir是 的不变因子(invariant factors)。iPs行列式因子012(), (), (),(),iDDss . determinantal divisors1()()/()iiisDss例 1：化下面多项式矩阵为 Smith 标准形式 (怎样化标准形？)1 2342201 (),(),10(), 01() ,131ssPPsssP 5222()1,3sss 定理 3.2 (Smith-McMillan form) : 如果 是有理函数矩阵()Gsrational matrix，具有一般
5、秩 ，则可以通过系列初等变换化为rSmith-McMillan 标准形： 12()()()()()diag,0,rssGsMs 1()(),1,2,1iiiisir解释一般秩：Normal rank例 2 2222113348() 41ssGss 21032()()10ssGsM3.3 传递函数的极点和零点Poles and Zeros of a transfer function matrix定义 12()()()()()diag,0,rssGsMs 极点多项式： 12()()()rpsss零点多项式： rz与 的根(roots)称为传递函数 的极点和零点()ps()z ()Gs传递函数 的
6、极点和零点的含义：Gs极点： 的分母中有因子(以该点为根 )零点： 的分子中不一定有因子，但该点使 的秩下降，s ()Gs但重数不能这样简单确定。极点多项式 的次数称为传递函数 的 McMillan 次(degree)()ps ()s零点：通常称为传递(输) 零点(transmission zeros)上面例 2 中，零点 2, 极点-1, -1, -2, 都是简单的(simple)。推论：如果 是方的，则 。()Gsdet()()/Gsczsp3.4 矩阵分式描述 Matrix Fraction Description (MFD)设 是严格真(strictly proper)有理传递函数，
7、和 是单()Gs ()Ls()Rs模阵， 可化为 Smith-McMillan 标准型：12()()()()() diag,0,()()rsLMsRssRs 121()()i,()() rsssND 12()diag(),(),0,rsss ()1r 11()() ()()GsLMsRNsDs上式被称为 的右矩阵分式描述(right matrix fraction description). (同理有左矩阵分式描述)-分子矩阵(numerator matrix)()Ns-分母矩阵(denominator matrix)D(1) z is a zero of if and only if los
8、es rank()Gs()Nz(2) p is a pole of if and only if loses rankDpMFD 表示不是唯一的 11()()() GsNsXDsX定义： 右互质(right coprime)如果 ()()NssU()()DsUs只对单模阵 成立，则称 与 右互质N这时称 是不可约的(irreducible)1()()Gss怎样判定 与 右互质？ND存在多项式矩阵 使得 。(),XsY()()XsNYsDI如果 是不可约的(irreducible)，则 的极点多1()Gs ()Gs项式： .det()pDs3.5 状态空间实现 State Space Reali
9、zation显然有 1adj()()()etCsIABGsCsIABDD 定理 3.3：设 有最小实现 ， 是 的首一(,)()ps()Gs极点多项式，则 ()psI例 3：最小实现12()3sGs (1)31() 22)(3sGss01031, , , 656ABCD3.6 多少零点？How Many Zeros?有零点的非方形传递函数是特殊的，一般的非方形传递函数无零点例 4：怎样判定下面传递函数是否有零点？1324()563142sGsSISO 传递函数情况： 1()mmnnnsbsbGskaa零点和极点：有 m 个有限(finite) 零点，有 n 个有限极点如果 ，在无穷远处(at
10、infinity) 有 个零点n 如果 ，在无穷远处(at infinity) 有 个极点 m在 的极点和零点，通过 在 的极、()Gs()(1/)HG0零点来定义.传递函数是方阵情况：定理 3.4：如果 是方阵，那么它的极点和零点一样多()Gs1 1(), ()()mni ii izszpssp 1 1(1/)(), (/)()nmi ii i 11det()()/()nni ii iHkzp设 在 0 有 个零点， 个极点，则zpzpnm总的极点数与总的零点数相等：f fpz非方形传递函数上面结论不成立。例 5： 有两个极点，没有零点。13()24sG关于零点的进一步讨论 (further
11、 discussion)设 是方形，维数 ，最小实现：()sm1 2()CBAGDCsIADs2()HB若 ，则 在 至少有 个零点rank()H0m这样 至少有 个零点在无穷远处()Gsm因此至多 个有限零点但当 时，一般情况， 的秩在无穷远处不下降，所以()Gs得 有 n 个有限零点。()Gs若 ， 至多有 个有限零点，至少 m 个零点在无0D()snm穷远处当 时，恰有 个有限零点rankCB当 时，至多有 个有限零点mdnmd更精确计算有限零点的数目需要检查马可夫(Markov)参数：.更详细讨论 Kailath(1980), MacFarlane (1976)-IJC1iCAB3.7
12、 内部稳定性 Internal Stability定义：指数稳定(exponentially stable)： 正则且没有闭右半复平面()Gs(CRHP)极点.内部稳定(internally stable)：图 2.2【P103】所示反馈系统是内部稳定的，当且仅当传递函数， 1122()()()euHsss11121222eHu是指数稳定的。 (相对于外部稳定)这是称 是内部稳定的，或 镇定 。(),GsK()Ks()Gs()Gs1e()Ks1u2y 1y2u2e求出 (注意正反馈条件下) 11()()()euIKGIKGHs 两点说明：(1) 定义中排除了 与 不稳定的极零点相消；()s()
13、Ks(2) 检验四个传函 都是指数稳定的。ijH内部稳定-指反馈系统，指数稳定 -指传递函数。定理 3.5：如果 指数稳定，则图 2 所示反馈系统内部稳定当()Ks且仅当 指数稳定。121()HGI(存在 指数稳定时，称 是可强镇定的 strong stabilizable)s(s证明： 11 21()()()HsIKGIIKHs21)s121()()()sIIIs定理 3.6：如果 指数稳定，则 指数Ks 1()HGIK稳定当且仅当(1) 在闭右半平面上没有零点(包括无穷远点det()IGsincluding infinity)；(2) 在 的闭右半平面极点处解析(analytic)(包括无
14、穷21()Hs()s远极点)。 【更详细(细致)的结果】例 6： 11(), ()2sKGsdet1()Gss 12()1sKG因此， 不能镇定 .K()负反馈： 换为 .()sKs设计者应遵循的原则：不能引入右半平面的极零点对消.3.8 一般 Nyquist 稳定判据The Generalized Nyquist Stability Criterion取反馈 (负反馈)，并设 在闭右半平()KskIdet()IkGs面上有 个极点和 个零点，则由幅角原理(the principle of the opcpargument)argdet()2()coIkGsp:注意： 的极点就是 的极点()Iks()s闭环系统稳定性分析：闭环系统稳定 0cp如果 是 的特征值，则 是 的特征值()is()Gs1()iks()IkGsdet iIkargt()arg1()iIs ks所以判定稳定性问题转化为计算 的 Nyquist 图围绕原点()iks的圈数问题，进一步得 绕 点的圈数问题(与经典判()iks10j据一样了)。的图被称为
