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1、第二次作业参考答案2-1 设 ,试求 ,并验证 。21121030,03,6 2ABC32ABCABC解: , ,9183426416AB4107326291534ABC,1280619012381021369504ABC,521363BC15321623A2-2 计算下列乘积：（1） （2） （3） （7）311212131232axx01n（n 为正整数）解：(1) 324101(2) 1336(3) 121 1123321213212312332ax xx axaxaxaxa 2213121323（7）令 0nnA当 n=1 时， ；当 n=2 时， ；1cosin201i210cosi
2、niA当 n=3 时， ；当 n=4 时， ；33cosin012iA410cos2iniA当 n=5 时， ，515cosincosin0122i i猜想 下面用数学归纳法证明cosn012innA当 n=1 时显然成立假设当 n=k 时猜想成立即cosin2ikkA则当 n=k+1 时 成立k11cossin02ickk故cosin021in2-4 设 A ,B 都是 n 阶矩阵，问下列等式成立的条件是什么？（1） （2）2BAB2()ABB（1） 2()() A为使 则2 2即原等式成立的条件是（2） 2()A为使 则222BABB即原等式成立的条件是2-6 设 ,求所有与 A 可交换的
3、矩阵102解：若矩阵 B 与矩阵 A 可交换且 A 为 2 2 矩阵，按矩阵乘法的定义知 B 也必为 2 2 矩阵，不妨设abcd则 ， ，由已知得1022acbdA102ababBcdcdAB即 由此知所有与 A 可交换的矩阵为 其中 a,b 为任意2acbd0cdab0bBa 0ab常数2-7 已知 A 是对角元互不相同的 n 阶对角矩阵，即 ，当 时，12naA ij。证明：与 A 可交换的矩阵必是对角矩阵。,(1,)ija证明：设与 A 可交换的矩阵 B 为 ，则有121212nnnbb，即112112 22221210 0nnnnn nabbbaa a ，比较相应元素得 ，由于112
4、12122 21212n nnnnbbabaa ()ijjib，所以 ，即与 A 可交换的矩阵 B 只能是对角矩阵。,(,)ij 0ijbj2-8（1）证明：若 A,B 都是 n 阶对称矩阵，则 AB 是对称矩阵的充分必要条件是 A 与 B 可交换。（2）设 A 是一实对称矩阵，且 ,证明：2AO证明：（1） A,B 均为 n 阶对称矩阵, ,BT先证充分性：由于 A 与 B 可交换，则即 AB 是对称矩阵TT再证必要性：由于 AB 是对称矩阵，则 T即TA综上所述，若 A,B 都是 n 阶对称矩阵，则 AB 是对称矩阵的充分必要条件是 A 与 B 可交换。（2）设 ，由于 且 , 所以ijA
5、aT2O21212 2121210(,)njjnj njT ijnijnjjaA oana 0(,12,)0ijajnA2-9 求下列方程的逆矩阵（1） （3） （5） （其中 ）cosin1230412naa 0,12,i n注：其实一般不通过求伴随矩阵来求逆矩阵，因为比较麻烦，通过初等矩阵的推论来求会比较方便。但作为基础，还是要学会通过求伴随矩阵求逆矩阵。解：（1）令 且 知 A 可逆cosinA22cosin10A， ， ，2312i32sini42cs*oiniA1*cosiniA(3)令 且 知 A 可逆102342340， ， ，2101A312124A43120， ， ，5143
6、2321042012A， ， ，523014A62152A4312， ， ，53201463081473401A， ， ，541023A642103A743102A，840621*4803526A1*24018356A(5)令 且 易得 ，当 时12naa 120na 12niiaA ij0ijA1212* 12nnnaaAa 11*21naAa2-10 设 , 是 A 的伴随矩阵，求102345A* *1()A解： 11*1*1*10()()()2345AE2-11解下列矩阵方程：（1） （3）254631X420311X解（1）：设 ，则 。abcd2562abcd即 ，解得 。25463
7、1bacd308cd308X解（3）： ， ，112424366110021121104320320 46X2-12，设 ， ，求 .43102A2ABB解： ， ， ， ，B()E2310E|2|1AE，14314325566AE1 28631095412B 2-13,利用逆矩阵解下列线性方程组：（1） （2）12315;xx1231;50xx解（1） ，故23513X231（2） , 故20 50232-15，设方阵 满足方程 ，证明 可逆，并求其逆。A2EOA解： ， ， 可逆且 。2EO1EA2-17，分别写出下列矩阵的行阶梯形，行最简形和等价标准形。（1） 23421 123 00r
8、 r （2） 45678932213471213456036067891rr 。212 321300cr （3）12460321341 241212104606033 9rr c 32 4341 20121026633090691r r 23160121026 330126000r 。5143152435216 0010ccc 2-18，设 同为 矩阵，证明： 等价于 当且仅当存在 m 阶可逆阵 和 n 阶可逆阵 ，使 。,ABmnABPQPAB证明：必要性：先对 进行有限次的初等行变换，相当于在 的左边进行有限个 m 阶初等矩阵，即有限个 mA阶初等矩阵的乘积，可设为 m 阶可逆阵 。再对
9、进行有限次的初等列变换，相当于在 的右边乘以有限P次的初等矩阵的乘积，设为 n 阶可逆阵 Q。 可转换为 ， QB。充分性： PAQB， 为 m 阶可逆阵， 为 n 阶可逆阵， ， 同为 n矩阵，相当于对 进行有限次初等A行变换和初等列变换得到 ， 与 B等价。A2-34.B 一个一个选项代入计算即得2-51 计算：（1） ，求 .22137,4fAfA,216248938A 163349222705371f3-15 求下列各矩阵的秩：（1） （3）450122420610解：（1）23451234512345123450100010故 r=3（3）210160316031634 22162 084044 13218400故 r=3
