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1、线性代数第七章习题解答- 88 -习题七（P274276）1设 3,R，以下哪些函数 (,)定义了 3R的一个内积？（1） 12322()abab， 否（2） 3, ， 是（3） 12 ， 否（4） 3(,) ， 否2.以下哪些函数定义了 ,C上的一个内积.（1） 12,()fgfxgd （ ）（2） 1() （ ）（3） 2,()ff （）（4） 1()gxgd （ ）（5） ,()fefx （）3设 A是正定矩阵，在 nR中对任两个向量 12(,)Tnx ， 12(,)Tny ，定义 (,)T，证明：在这个定义下 nR构成欧氏空间，并写出这个空间的柯西施瓦兹不等式.证明：（1） ,()(,
2、)TA（2） ()kk（3）设： , (,),)nTTRAA（4）由 的正定性知 ()0，当且仅当 0时， 0T，即(,)0，从而 在 ,T定义下构成欧氏空间。又TA.柯西施瓦兹不等式为()TT4 在 4R中，求 ,之间的夹角 ,（内积按对应分量乘积之和）.（1） (23)(12) （2） ,1,0解：（1） 0.（2） (,)3(,)3.71cos,7，从而,cosar5在 4R中求一单位向量与 1,1,21,3正交.解：设所求向量为 234()x，应有：线性代数第七章习题解答- 89 -12340xx解之得： 4112343,0,xx， 又 22134xx，得： 46，13(,0,)626
3、 把向量组标准正交化（内积为对应分量乘积之和）： 1(,0),2(1,), 3(,)。解： 102，取：221(,)(,1,)， 216(,0)2，取 3332,(,)3，3(,)6， 12,即为所求 。7 次数不超过 3 的所有实系数多项式，根据 1(),()fxgfxgd构成一欧氏空间，试求它的一个标准正交基（由基21,出发作正交化） 。解： 23,为欧氏空间的一个基，现将其标准正交化. 12， （此处 12(,)dx） ，取：21x， 1223xd， 226x；取23 2(,)(,)， 18()345d，3014x； 3 34123(,),(,)xxxx， 3441(5)； 1234,即
4、为所求.8 求齐次线性方程组： 51230xx的解空间（作为 5R的子空间）的一组标准正交基。解：解方程组 123450xx，得解空间的一组基，1(0,), 2(1,), 3(4,50,1)。线性代数第七章习题解答- 90 -将其标准正交化： 112(0,0)，取 22(,),，2 1,0)5105；取 33132763(,)(,)(,，3,)55102； 124,即为所求.9 设 3是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明： 1123()3,2123(), 123()也是一组标准正交基。证明： ， ,为单位向量，又： 2121333(,)()0，类似有：(,0， ,两两正交. 从而 123,为三
5、维欧氏空间中一组标准正交基.10 设 12,s 是欧氏空间的向量，且 可以由 ,s 线性表示，证明若 与每一个 i正交 (1,2)s ，则 0.证明：由 可以由 线性表示得知，存在一组数 12,sk 使12skk又 与 i正交， 121(,)(,)(,)0si ，从而 。11在欧氏空间 V 中， 2，如果任意 V有 2，证明： 12。证明：对任意 ， 1(,),)即 12(,)0r，由 10 知 1，从而12.12设 W是由 生成子空间，则向量 垂直 W充要条件为 垂直12,k.,i.证明：必要性显然，只需证充分性.对任意 ， 可由 线性表示，即存在 ，使：12,k 12,kl.2kll，12
6、(,), )kl 12(,)(,)(,)0kkl，从而 .13设 V是一 n维欧氏空间， 0是 V中一固定向量。证明：（1） (,),xx是 的子空间；（2） 1的维数等于 1n.证明：（1）对任意 1,， (,)(,)0， 1V对任意常数线性代数第七章习题解答- 91 -,()(,)0kk， 1kV，从而 1为 的子空间。（2） 由定理 4 知 可扩充为 的一组正交基 121,n ，易知：11,nV。对任意 ， 可由 2,n 线性表示。即存在2使 121nk ，又 V，知 (,)0，即：2( ,)(,)0nkk， .故1即 可由 线性表示。 121,n 为 V的一组基。14一组数据如下：2341.8.9xy在最小二乘意义下，求最佳拟合直线方程.解：设所求直线方程为 yaxb，将 ,y值代入得：.2.394ab，1234A，1.382.9B, 3014TA 10.5()TA,1 1.3.20.12480.52()5.79TaBb ,最佳拟合直线方程为 0.52.7yx.15求下列方程的最小二乘解（保留三位有效数字） 。.391.860.5yx解：.391.860.5A， 3.215.48TA， 1.360.2()7TA，最小二乘解：10.2()5TxAy。
