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1、线性代数第六章习题解答-1-1. 2. 已知向量空间的一个基为 1=（1 1 0） T， 2=（1 0 1） T， 3=（0 1 1 ） T，试求 =（2 0 0） T在上述基下的坐标。解. 设 = ， =3212x32110-1=321 121所以 = -1= =321x32210212验证 1=（1 -1 0） T， 2=（2 1 3） T， 3=（3 1 2 ） T为 R3的一个基，并把=（5 0 7） T，=（-9 -8 -13） T用这个基线性表示。解.设 = ， 32120= = -6 03211所以 1， 2， 3为 R3的一个基。设 = ，=32121x32121y由 = 21
2、A723052054得 = = =2 1+3 2- 3 ，32121x32又有 21A线性代数第六章习题解答-2-= 1320894201793得 = = =3 1-3 2-2 3 。3212y3213.下列 n 阶方阵的集合，关于矩阵的加法和数乘矩阵两种运算是否构成线性空间？（1）n 阶对称矩阵全体所成之集合 S；（2）n 阶可逆矩阵全体所成之集合 R；（3）主对角线上各元素之和等于零的 n 阶矩阵全体所成之集合 T。解.（1）S 构成线性空间。因为 A，B，CS，R ，A+BS， AS且满足 1.A+B=B+A2（A+B）+C=A+（B+C）3 零元素为 0，满足 0+A=A4负元素为-A
3、，使 A+（-A）=051A=A6（A）=（）A7（A+B）=A+B8（+）A=A+A（2）R 不构成线性空间，因为若 AR，但 0A=O 不可逆，即 R 关于数乘法不封闭。（3）T 构成线性空间，因为 T 关于加法和数乘法封闭，并且满足 8性质。4下列集合对指定的运算是否构成实数域上的线性空间？（1） 设 0是 n 阶方阵 A 的特征值，A 对应于 0的特征向量所成之集合，关于向量的加法和数乘向量两种运算；（2） 微分方程 的全体解所成之集合，关于函数相加和数乘函数两3 yy种运算；（3） 微分方程 的全体解所成之集合，关于函数相加和数乘函数两5种运算；（4） R3中与向量（0，0，1） T
4、不平行的全体向量所成之集合，关于 R3中向量的线性运算。解. （1）不构成线性空间，因为此集合不含零向量；（2）构成线性空间，由齐次线性微分方程解的性质得证；（3）不构成线性空间，由非齐次线性微分方程解的性质得证；（4）不构成线性空间，关于向量的加法和数乘向量两种运算不封闭。5检验以下集合对于所给的运算是否是实数域 R 上的线性空间。令 S=（a，b）|a，bR，对于运算：（a，b）（c，d）=（a+c，b+d+ac）线性代数第六章习题解答-3-k （a，b）=（ka，kb+ ）2)1(ak解。显然集合 S 对于上述两种运算是封闭的，并且加法运算显然满足交换律，结合律，零元素为（0，0） ，对
5、于任意元素（a，b）的负元素为（-a，-b+a 2） 。对于数乘的 4 条运算规律易验证也成立。所以 S 构成一个线性空间。6求实数域 R 上的全体 2 阶对称（反对称，上三角，下三角）矩阵所成的线性空间的一个基和维数。解.全体 2 阶对称矩阵的线性空间的一组基为， ， 其维数为 3；0110全体 2 阶反对称矩阵的线性空间的一组基为 其维数为 1；01全体 2 阶上三角矩阵的线性空间的一组基为， ， 其维数为 3；0110全体 2 阶下三角矩阵的线性空间的一组基为， ， 其维数为 3。7设 A= ，求线性空间 S（B）=BM 33|AB=0的一个基和维数。01解.设 B=（b ij）则 AB
6、=0 时，B= ，所以 S 的一个基为02321b， ， ，其维数为 3。01018 在 R3中，求向量 =（3，7，1） T关于基 1=（1，3，5） T， 2=（6，3，2） T， 3=（3，1，0） T的坐标解.设 = ，3212x线性代数第六章习题解答-4-= =A321 102573615407236所以 = 。321x489在所有实对称二阶方阵所成的线性空间 S2中，求它的一个基，并写出矩阵 关于这123个基的坐标。解.S 2的一个基为 ， ， ，则矩阵 在这个基的坐标为0110123（3，-2。1） T 。10已知四维线性空间中的两个基为 1， 2， 3， 4，和 1， 2， 3
7、， 4，且 1= 1+ 2 + 4 1=2 1+ 2+3 3+ 4 1= 1+ 2 1= 2- 3- 4求 4关于基 1， 2， 3， 4的坐标。解.由已知（ 1 2 3 4）=（ 1 2 3 4） ，知102（ 1 2 3 4）=（ 1 2 3 4） 102=（ 1 2 3 4） 02131所以 4=（ 1 2 3 4） 0线性代数第六章习题解答-5-=（ 1 2 3 4） =01213即 4在基 1 2 3 4的坐标为 。T111已知 R3中的两个基为 1=（1，1，1） T， 2=（0，1，1） T， 3=（0，0，1） T； 1=（1。0。1） T， 2=（1，1，0） T， 3（0，
8、1，1） T，求向量 =2 1+ 4 2关于基 1， 2， 3的坐标。解.已知（ 1 2 3）=（ 1 2 3） ，10（ 1 2 3）=（ 1 2 3） 0则 =（ 1 2 3） =（ 1 2 3）41042=（ 1 2 3） 1004=（ 1 2 3） 1 102=（ 1 2 3） 。512在 R4中取两个基，一个为标准基 1， 2， 3， 4，另一个为 1=（2，1，-1，1）T， 2=（0，3，1，0） T， 3=（5，3，2，1） T， 4=（6，6，1，3） T。（1）求由基 1， 2， 3， 4到基 1， 2， 3， 4的过渡矩阵；（2）求向量 =（x 1，x 2，x 3，x 4
9、） T关于基 1， 2， 3， 4的坐标（3）求在这两个基下有相坐标的向量；线性代数第六章习题解答-6-解.（1） （ 1 2 3 4）=( 1 2 3 4) 310265所以由基 1， 2， 3， 4到基 1， 2， 3， 4的过渡矩阵为 。310265（2）向量 =（x 1，x 2，x 3，x 4） T关于基 1， 2， 3， 4的坐标为=4321y1306542x= 。26037189121 432x（4）=（ 1 2 3 4） 321x=( 1 2 3 4) 310265421x3016542x= ，即 =4321x2106543x0得在这两个基下有相坐标的向量为（1，1，1，-1）
10、T 。13设 N 是齐次线性方程组线性代数第六章习题解答-7-= 的解空间，求解空间的维数和它的一个基。1370124321x0解: 13701213702 8402所以解空间的维数为 1，它的一个基为（-3，1，2，1） 。14.在线性空间 R3x中（1）证明 1+x，1+x 2，x+x 3，x 3是 R3x的一个基；（2）求由基 1，x，x 2，x 3到基 1+x，1+x 2，x+x 3，x 3的过渡矩阵；（3）求 3+2x+x2关于基 1+x，1+x 2，x+x 3，x 3的坐标。解.（1）已知 R3x的维数为 4。并且 1+x，1+x 2，x+x 3，x 3线性无关，因为若有实数k1，
11、k 2，k 3，k 4使 k1（1+x）+k 2（1+x 2）+k 3（x+x 3）+k 4 x3=0即 （k 1+k2）+（k 1+k3）x+k 2x2+（k 3+k4）x 3=0则必有 k1=k2=k3=k4=0 。所以 1+x，1+x 2，x+x 3，x 3是 R3x的一个基；（2） （1+x，1+x 2，x+x 3，x 3）=（1，x，x 2，x 3） 10由基 1，x，x 2，x 3到基 1+x，1+x 2，x+x 3，x 3的过渡矩阵为 10(3)3+2x+x2=（1，x，x 2，x 3） 01线性代数第六章习题解答-8-=（1+x，1+x 2，x+x 3，x 3）10123=（1
12、+x，1+x 2，x+x 3，x 3） 11023=（1+x，1+x 2，x+x 3，x 3） 02所以 3+2x+x2关于基 1+x，1+x 2，x+x 3，x 3的坐标为（2，1，0，0） T 。15R n中分量满足下列条件的全体向量是否组成 Rn的子空间？（1）x 1+x2+xn=0；（2）x 1+x2+xn=1；（3）x 1=0 。解:（1）记 V1=x=（x 1，x n） ，x 1，x nR ，满足 x1+xn=0， ，= （a 1，a n） ，= （b 1，b n ）则,R（a 1+bB）+（a n+bN）=0 即 +V 1a 1+a n=0 即 V 1亦即 V 1对向量加法和向量
13、数乘法封闭。所以 V1是 Rn 的子空间，（2）记 V2=x=（x 1，x n） ，x 1，x nR ，满足 x1+xn=1，=（a 1，a n） ，=（b 1，b n ）则,（a 1+bB）+（a n+bN）=2 即 + V2亦即 V 1对向量加法不封闭。所以 V2 不是 Rn 的子空间。（3）记 V3=x=（x 1，x n） ，x 1，x nR ，满足 x1=0，可以证明 V3对向量加法和向量数乘法封闭。所以 V3是 Rn 的子空间。16设 AM n（1）证明：与 A 可交换的 n 阶方阵的全体组成 Mn 的一个子空间，记此子空间为 C（A） ；（2）给定对角矩阵 A= ，求 C（A）的维数和一组基。n21证:（1）. ， ，则 BA=AB，DA=AD 。于是 :)(,ACDBR（B+D） A=BA+DA=AB+AD=A（B+D）
