级高数A下复习题习题

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1、高等数学 A(下)期末考试复习知识要点1、 多元函数求偏导数，多元复合函数求偏导数。2、 讨论二元函数的可微性。3、 偏导数存在函数取得极值的必要条件与充分条件。4、 利用对称性简化重积分的计算。5、 二重积分计算、极坐标系下二重积分的计算。6、 球坐标系下三重积分的计算。7、 功的计算，曲线积分与路径无关性。8、 对坐标的曲面积分的定义与计算。9、 高斯公式的应用。10、 数项级数敛散性判别法，比值判别法。11、 幂级数的收敛性质以及收敛区间。12、 函数展开成周期为 2的正弦级数、余弦级数。一、多元函数求偏导数，多元复合函数求偏导数1、设函数 由方程 所确定，则 = 。zxy(,)xzyl

2、ncoszx2、设函数 由方程 所确定，其中 有一阶连续偏导数，则 = , ),(),(vuzx。3、设 ，则 = 。uxyzxyzux4、考虑二元函数 的下面四条性质：),(f 在点 处连续； 在点 处的两个偏导数连续；),(yxf0),(yxf),(0 在点 处可微； 在点 处的两个偏导数存在。),(若用“ ”表示可由性质 推出性质 ，则有（ ）QPPQ ）（ A）（ B ）（ C）（ D5、若 ，则 =（ ）fxxfx(,),()23261fxy(,)2(A) (B) (C) (D) 16、设 在极坐标： 下不依赖于 ，即 ，其中 有二阶连续导数，ufxy(,)xryrcos,inru(

3、)()则 =（ ） 。2(A) ； (B) ； 12r()122rr()sin()(C) ； (D) 。2rsin()7、设 具有二阶连续导数，而 ，则 =（ ） 。f()rxyufr2,()2uxy(A) ； (B) ； (C) ； (D) ；frff()()1ff1rf2()8、设 ，则 （ ） 。00sin),(2xyyxf ),(yfA 0； B 不存在； C 1； D ；1答案：1、 ；2、 ；3、 ；yztgyzcosln22xyzyz4（A） ；5、 （D）6、 （A） ；7、 （C） ；8、 （C）9、 具有连续的二阶导数，求 。),(xzfuyxu210、设 由方程 确定，其

4、中 具有连续偏导数，证明,yz 0),(bzcyax ),(vu。cbxa11、设 ，而 由方程 所确定，其中 具有一阶连续偏导数，求 。yfu(,)xy(,)xgyu(,)fg, dyx二、讨论二元函数的可微性1、设 ，根据偏导数定义求 。fxyyxy(,)(,),(200 ffxy(,),02、设 ，则在原点 处 ( D ).),(yxf001sin)( 222yxy )0,(),yxf(A)偏导数不存在； (B)不可微；(C)偏导数存在且连续； (D)可微 .3、设 ，证明 在 处连续且偏导数存在，但不可微00)(),( 2232yxyxyf ),(yxf0,三、偏导数存在函数取得极值的

5、必要条件与充分条件1、函数 在 条件下的极大值是( C )fxyz(,)2412z(A) (B) (C) (D) 012、点（ A ）是二元函数 的极小点。xyxyz9323),(.)0,(.)2,(.),1(. DB2、设函数 在点 处可微，则点 是函数 的极值点的必要条件为 zfxy,0,xy0z),(,0),(0yx3、若函数 在点 处取得极小值3，则常数 之积 _ 。zxxyabc232 (,)2abc,答：304、若函数 在点 处取得极值，则常数 。22)1,( a答： 。55、讨论函数 的极值。zxyx34四、利用对称性简化重积分计算1、计算 ，其中 是闭区域: 。Ddy)96(2

6、 D22Ryx2、计算二重积分 ， 其中xy3、设 是由曲面 所围的有界闭区域，计算 。1,02zdvzyx)(334、设 (其中 则 。dvxyeI)3tansi(32 )1,:zyxI答： 。5、 其中 是由球面 所围成的闭区域 .,1)ln(22vzyxz22zyx（答：0）五、二重积分的计算，极坐标系下二重积分的计算1、二次积分 在极坐标系下的累次积分为2),(xadyfd。答： arrf02 )sin,co(2、若 ，则区域 D 为（ ） 。si0)sin,co(),aD rdfdxyf;0,;, 2222 yaxDayxCBA答：A3、设域 是域 D 上的连续函数，则 ( )f,:

7、22 dxyfD)(2(A) (B) 10)(df 10)(4df(C) (D) 2答：A4、设 为 ,当 ( )时, .D22ayxDdxya22(A) 1； (B) ； (C) ； (D) . 33431答：B5、当 是（ ）围成的区域时，二重积分DDdxy(A) ； (B) ；02,yxx轴 及轴 31,2(C) ； (D) .3,4轴 及轴 yx答：A6、计算 其中 D 是直线 所围成的闭区域。,dsinDyx,0y7、 ,其中 是由直线 及 所围成的闭区域。)(2 x2y28、计算二次积分 xdy0219、计算二重积分 yD2其中 D 是以 为顶点的三角形区域。)1,(,(),BAO

8、和10、计算二次积分 2421 sinsinxx dydy11、试求曲面 x2+y2=6 z 与 所围立体的体积。六、球坐标系下三重积分的计算1、设 是由 所确定的球体，试将 化成球面坐标下的三次积分式。1)2(2zyx dvzyxf)(22答： 10 222022 sin)co()( rrfddvzf 2、设 是由闭曲面 所围的立体，计算 。 （答： ）zyx22dvzI2)1(1543、设 连续，且 ，求 ，其中 是由球面)(tf 1)0(,)(ff xyzyxftt)(lim2240围成的立体。 （答：1）22tzyx七、功的计算，曲线积分与路径无关性1、设 在单连通区域 内有一阶连续偏

9、导数,则在 内与 路径无关的条件),(,yxQPDDLQdyPx是( ).x,(A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件.答：C2、设 ，因为 ，所以（ ） 。dyxyxIC22 2)(yxQPA对任意闭曲线 C，有 ； B在曲线 C 不围住原点时，有 ；0I 0IC因 与 在原点不存在，故对任意的闭曲线 C，有 ；yPxQID在闭曲线 C 围住原点时 ，不围住原点时 。I0I答：B3、已知曲线积分 在右半平面 内与路径无关，其中 可微，则L yxfxyf d)(2d)(2()x0fx()应满足的微分方程是 。fx()答： fx()124、已知力场 ，质点从原点出发沿着 轴运动到点 ，

10、然后再沿直线段到 ，jxyiyF2),x)0,1( )1,0(再沿着 轴回到原点，求力所做的功 。解： DC dyxdxdrw)(22131)(00102xyyx5、证明: 在整个 平面除去 的负半轴及原点的开区域 内是某个二元函数的全微分,并求出一2yxdxoy G个这样的二元函数 .答： )ln(1),(2u6、设 ，求原函数 。dyeyxdxyd )128(8332 ),(yxu7、已知函数 ，xQePcos,si),( （1）是否存在函数 ，使得 ?,yxuyPu（2）如果存在 ，试求出它。),(8、设 是某二元函数的全微分，则 （ )0,()(22 abyxyxdabdam mA 0

11、 B 1 C 2 D 3答：A9、若 是某二元函数的全微分，则 的关系是（ ）)0,()32()43( 22abyxyxbda ba,1;1;0;0 aB答：B八、对坐标的曲面积分的定义与计算1、曲面积分 在数值上等于（ ）dxyz2； ；的 流 量穿 过 曲 面向 量 iA)( 的 质 量的 曲 面面 密 度 为 2)(zB的 流 量穿 过 曲 面向 量 kzC2答：C2、求向量 通过区域 的边界曲面流向外侧的通量 .（答：3）kzjyixA:,10x10,zy3、设是柱面 的介于平面 及 间的部分曲面的外侧，则92z2。zdxy424、计算 ，其中是由半锥面 、 平面 和 所围成的圆台 的

12、侧面的yxezd2 2yxz1z2下侧。5、计算 其中是球面 在第一卦限部分的上侧， R 为正数。22Rzy6、计算 ，其中 是以 、 、 三点为顶点的平面三角形，dxyzyxI)32( )0,23(A),1(B)3,0(C并取其法向量指向不包含原点的一侧。7、计算 ，其中 是柱面 上由 及 所限定的那部分曲面的前侧，R 是zd2R,yxz正数。8、设有空间流速场 求 通过曲面 位于平面 以下部分的下侧的通量(流量)。ixyzv),(v2z1z九、高斯公式的应用1、计算 其中是球面 的下半部分曲面的下侧， a 为正数。dyx3 22a2、求 ，其中 为锥面 的下侧。dxydzxz)()()(

13、222 )0(2hzyxz3、计算积分 ，其中 是介于 和 之间的圆柱体 的整个表yxI 0392yx面的外侧。4、计算积分 ，其中 是球面 的外侧。dxyzdzI 222 22azyx5、计算曲面积分 ，其中 是由曲面 与 所yx222yxz围成立体表面的外侧。6、设空间闭区域 由曲面 平面 所围成，为 的表面外侧， V 是 的体积， a 为正数。22yxaz0z试证明： dxydyxV)1(22 十、数项级数收敛性判别法，比值判别法1、 为任意正的实数，若级数 ， 都收敛，则有a1!na22nan（A） ; （B） ； （C） ; （D） 。eee10答：C级数 是收敛的，则（ ）)(21nnu（A） 必收敛； （B） 未必收敛； （C） ； （D） 发散；1n1nu0limnu1nu答：B3、设有级数 （1） 与级数 （2）则( )1!2n 1!3n（A）级数（1） （2）都收敛； （B）级数（1） （2）都发散；（C）级数（1）收敛，级数（2）发散； （D）级数（1）发散，级数（2）收敛。答：C4、级数 （常数 ） （ ） 。1cosnn0（A）发散； （B）条件收敛； （C）绝对收敛； （D）敛散性与 有关。答：C5、极限 的值为 。n!2lim答：0。6、判别下列级数的