会求曲率和曲率半径

★★★★★会求曲率和曲率半径；1、 弧微分、曲率的概念及计算、曲率半径曲率在生产时间和工程技术中，有时需要研究曲线的弯曲程度.例如，设计铁路、公路时，如果弯曲程度不合适，很容易造成事故；又如，在机械和土建工程中，各种梁在荷载作用下，要弯曲变形.为此，本书我们介绍曲率的概念及曲率的计算公式.一、弧微分作为曲率的预备知识，我们先介绍弧微分的概念.考察定义在区间 上的函数 ，函数 在区间 内具有连续导[,]ab()yfx()yfx(,)ab数，其图形为图 3-6-1 所示的一条光滑曲线，在曲线 ()yfx上取一固定点 作为度量弧长的基点，显然，0(,)Mxy 从曲线上点 到曲线上任一点 之间的(,)xy 长度 s（即 ）是 的函数，记为 .首先，我As 们给出如下规定：1.曲线的正向即为 x 的增大的方向；2.当 与曲线正向一致时，s>0；当 与0A0M曲线正向相反时，s .2B212可以看出，对于圆弧来说，单位弧长所对应的切线转动角度可用来描述圆弧的弯曲程度.它为我们提供了一种衡量曲线弯曲程度的方法.由此，我们引入描述曲线弯曲程度的概念——曲率. 设平面曲线 是光滑的，在 上选定一点 作C0M为度量弧 的基点，设曲线上点 对应于弧 ，在s s点 处切线的倾角为 （见图 3-6-4） ，曲线上另一M点 对应于弧 ，点 处切线的倾角为s，则弧段 的长度为 ，当动点从点s移动到点 时切线的转角为 .M我们用单位弧段上切线转动角度的大小，即比值 ，表达弧段 的平均弯曲程sM度，并称它为弧段 的平均曲率，记为 ，即 = .其中加上绝对值符号，表示不K考虑曲线弯曲的方向.当 时，即 时，上述平均曲率的极限称为曲线 在 点的曲率，记0sM C作 ，即 K.0limxKs在 存在的条件下， 也记为：0limsds（6）ds以直线为例，直线在任一点处的切线即为本身，当点沿直线移动时，切线的转角， （见图 3-6-5） ，从而 ， .这就是说直线上任一点处的曲率0s0K都等于零，这与我们的直觉“直线不弯曲”一致.又如，半径为 的圆，由图 3-6-6，可见圆在点 处的切线所夹的角 等于中R1M、 心角 ，由 ，可知 ，从而 .因为点 是圆上MDssRKRM任意一点，这体现了圆弧是均匀弯曲的曲线，它体现了圆弧上各点处的曲率都等于半径的倒数，这就是说，半径越小，圆弧弯曲得愈厉害.为了进一步得到处曲率计算公式，考察下式：（7）00()limlixxxss设曲线方程为 ， 具有二阶导数，由于 ， ，因()yfxf tanyrctany而有： 2()1又由式（3）知： ，从而根据曲率的表达式（7） ，有：sxy. （8）32(1)yK若曲线方程由参数方程 表示，则利用由参数方程所表示的函数的求导方法，)(xty得出：，()dtx23()()dttx代入式（8） ，得：（9）322()()[]ttK例 1 求曲线 在点 处的曲率.yx1(,)4解 因为 ， ，所以 ，232 14xy142x214xy故所求曲率为 .23/3/214()xyK例 2 抛物线 上哪一点的曲率最大？yaxbc解 ， ，故所求曲率为 .2 3/21()aKxb若要使得 最大，只须分母最小，即 .而 所对应的点为抛物线的顶K2x点，因此，抛物线在顶点处曲率最大.在某些实际问题中，如果 远远小于 1（记为 ） ，则可以忽略不计，此时y 1y，从而得到计算曲率的近似公式 .21yK三、曲率圆、曲率半径和曲率中心设曲线 在点 处的曲率为 （()fx(,)My 0K） ，在点 处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点 ，D使xyOM图 3-6-7)(xf1，以 为圆心， 为半径所作的圆（见图 3-6-7）称为曲线在点 处的曲1DMK M率圆.曲率圆的圆心 称为曲线在点 处的曲率中心，曲率圆的半径 称为曲线在点M处的曲率半径.按上述规定可知，曲率圆与曲线在点 有相同的切线和曲率，且在点 邻近有相同的凹向.因此，解决实际问题时，常常用曲率圆在点 邻近处的一段圆弧来近似代替该点附近的曲线弧.易见，曲线在点 处的曲率 与曲线在点 处的曲率半径 互为倒数，(0)K即 ， 1由此可见：曲线上某点处的曲率半径 越大，曲线在该点处的曲率 越小，则曲线越K平坦；曲率半径 越小，曲率 越大，曲线在该点处弯曲的越厉害.K例 3 汽车连同载重共 ，在抛物线拱桥上行驶，速度为 21.6 ,桥的跨度为 10 ，拱5t /kmhm的天高为 0.25 （图 3-6-8） ，求汽车越过桥顶时对桥的压力 .m解 建立直角坐标系，设桥顶为原点 ，水平方向为 轴，铅直向下方向为 轴.设抛物线Oxy拱桥方程为 .由于抛物线过点 ，代入方程得2yax(5,0.2)，即2(5,0.).1y20.yx设汽车越过桥顶点时对桥的压力为 （牛顿） ，则 ， 为汽车在原点FmgP作匀速圆周运动的离心力，即 .O2mvP由 ，有 ， . 于是，抛物线在原点处的曲20.1yx00.xxy 02xy率及曲率半径分别为， ，3/201(1)5xKy5K从而 （牛顿） ，32.6510P所以， （牛顿） ，即汽车过桥顶的压力为 45400 牛顿.35109.86450F设已知曲线 的方程为 上的点 为曲率圆上一点，因此，满足方程C()yfx(,)Mxy（10）22又因为曲线在点 处的切线与曲率圆半径 垂直，所以(,)MxyD（11）xy联立式 和 消去 ，得：(10)x2()y22(1)y注意到当 时，曲线为凹弧， ；当 时，曲线为凸弧， ，即0y00y与 的符号相反.因此，有，即21yy21y再由式（11） ，有 则曲线 在点 处的曲率中心 的坐2()xC(,)MxD(,)标为.2(1)yx21y当点 沿着曲线 移动时，相应的曲率中心 也将随着移动，称 的运动轨(,)MxyCDD迹曲线 为曲线 的渐屈线，而曲线 称为曲线 的渐伸线.（见图 3-6-9）.曲线LL的渐屈线的参数方程为()yf2(1)yx例 4 求抛物线 的渐屈线方程2ypx解 方程两边对 求导得： ，知2ypy方程两边再对 求导得： ，知x20y23py故抛物线 的渐屈线方程为：2yp其中 为参数2232233[1()](1) ,1(),pyyxxpypyyy y或消去参数 得渐屈线方程为： 2378()p豆 丁 致 力 于 构 建 全 球 领 先 的 文 档 发 布 与 销 售 平 台 ， 面 向 世 界 范 围 提 供 便 捷 、 安 全 、 专 业 、 有 效 的 文档 营 销 服 务 。

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