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1、第一章习题解答【习题 1.1 解】 2222222222222222coscoscoscs1xx yzxzyxzyzxzxyxyz矢 径 r与 轴 正 向 的 夹 角 为 ， 则同 理 ， 矢 径 r与 y轴 正 向 的 夹 角 为 ， 则矢 径 r与 z轴 正 向 的 夹 角 为 ， 则可 得从 而 得 证 abgab=+=+ +=【习题 1.2 解】 9243132()54(9)243236xyzxyzxyzz z zxyzxyzABeeeeeeeeAB （ ） （ ） （ ） ()()19124331514xyzxyzxyzxyz eeeeeee【习题 1.3 解】已知 ,38,xyzx
2、yzAebceBe（1）要使 ，则须散度 0A所以从 可得：138bcA381bc即只要满足 3b+8c=1 就可以使向量 和向量 垂直。 （2）要使 ，则须旋度 B0AB所以从 1(83)(8)(3)03xyzxyzeABbcbcecebe可得 b=-3，c=-8【习题 1.4 解】已知 ， ，因为 ，所以应有129xyzAeexyBaebBA0B即 1291290xyzxyeeabeab又因为 ; 所以 ； 2由， 解得 34,5ab【习题 1.5 解】由矢量积运算规则123233112()()()xyz xyzxyzeACaayeazeaxeBeBe =-+-+-+取一线元： xyzdl
3、de则有 0xyzeedlBd=则矢量线所满足的微分方程为 xyzddB或写成 233112()dxykazaza 常 数求解上面三个微分方程：可以直接求解方程，也可以采用下列方法（1）kxayzdzaxydyazxd 323121323121 )()()(（2）x )()()( 211332由（1） （2）式可得 )()(311yaxkad（3）222zy)()(3313xkz2yaxd（4）)(13zky)(21xzaykzd对（3） （4）分别求和0)()()(321zdyx 0)(321zayxdzd所以矢量线方程为1321kzayx2【习题 1.6 解】已知矢量场 222()()()
4、xy zAazebezcxzye若 是一个无源场 ，则应有 div =0A即： div =0yxz 因为 2xAaz2ybx2zcxzy所以有div =az+2x+b+2xy+1-2z+cx-2xy =x(2+c)+z(a-2)+b+1=0得 a=2, b= -1, c= - 2【习题 1.7 解】设矢径 的方向与柱面垂直，并且矢径 到柱面的距离相r r等（ra）所以， 2sssrdradahA2ah【习题 1.8 解】已知 ,23xy223yzAxzexe而 Arot )()( 2222(6)303xyz xyzeeAxyexexyz 222(6)3xyzAyeexe又 yxzyxee 23
5、6232233226309180xyzxyzAyeexex所以 222()3(6)3xyzrotAAxyyexe+ zyxeey323189= 49)(2 zxexx【习题 1.9 解】已知 22 2()()()xy zAyzezexzye所以14(2)0xyzy yx xz zxyzxyzxyzAArotAAzeeeeee由于场 的旋度处处等于 0，所以矢量场 为无旋场。A【习题 1.10 解】令 ln( )=C, = ， =1+4+9=14 22xyz22xyzce因此 Cln14 14 为等值面方程22xyz【习题 1.11 解】求函数 = 在点 M(2,3)处沿曲线 y= 朝 x 增大
6、一方的方向导数23xy21解: (2,3)|6|M(2,3)|15xyy在 L 取一点(x,y) y= -1( )沿 L 的方向的方向余弦为: xc 22os()(3)xly145x22()()ylx因为 则(x,y) (2,3)0所以 1cos74cos17又因为 =coslxcsy2417【习题 1.11 解 2】求函数 = 在点 M(2,3)处沿曲线 y= 朝 x 增大一方的方向导数3xy2曲线 y 在 M 点沿所取方向的切线斜率为： 42 所以 tg因此，方向余弦为 17cos2t4236xy所以所求的方向导数为 176041736coss Myxl【习题 1.12 解】标量场r1该标
7、量为一个以直角坐标系的 O 点为球心的球面求切平面的方程该平面的法线向量为 1133xyznee根据平面的点法式方程，得平面方程为111()()()0333xyz整理，得： z【习题 1.13 解】22coscoscos()(2)(2)cos1 111 230xyzyzxzxy 【习题 1.14 解】矢量 的方向余旋为A22cos/)()3yzxzy（ 1x（ 22cs/)()yzxy（满足题意方向导数： 22 3coscoscos6cs(3)(2)173 MulAxyzxyzy【习题 1.15 解】0222222222cosscos95431(51)(4)(1)cos97314(5)(41)
8、()43712xyzMlyzlllyxyl又 25143141235,29, 4xyz即 函 数 在 点 （ ） 处 沿 着 点 （ ） 到 点 （ ， ） 的 方 向 导 数 为 。【习题 1.16 解】(23)(42)(6)xyzx yzgradeexy所以 (0,)326xyzgradee(1,)6xy【习题 1.17 解】(1)()()()()()()()(2):)xyzxyzxyzxyzuugradeevvruuvuvgadureeevvvvreeevx证 ：证2()()(3)()222.x y zxyzeyzvgradgraduuuueeeur证 ：【习题 1.18 解】（1） 证
9、明 （ + ）=AB（ + +xeXy)z )( eBeAezyxzyXx = )()()( Zzyx=（ +（)zyAX )zyxB= BA得证(2) )() AzyxeX= ()()()XyzA = +)(xAex)(yAey)(zAez= ()()Xyxz yzx= A得证【习题 1.19 解】nnn nnn rzyxzyxzyx zyxzr zyxzzzyxrzyx yxzzxr zyxzyxzyryzzzxr ryrx )3()()()(3 )()()()(20 )(3)(3)(1)()()( )(3)()( )()()(122222 222222 212222233 3212232
10、322321222323 3212232322333 同 理 可 得 ： ）（）证 明 ： （【习题 1.20 解】已知122()xyzrxyzree所以z(1)( )()yxzxzyx()()()y z00xyzxyzxyx y zreeeeeeeey 1222x y3 3 3 3222222 2222222z111222222(2)( )r ()zy-zyxz-xz( )e( )e)( )(xy( yx z)( )xyzx zxyeeeezxzyzyzeeexy z3 322222-y)e)(00zx y 122z1112222223 32222 22(3)f(r) )f(r)(yxf(r
11、)f(r)zf(r)(zyf(r)zyf(r)-zyyzf(r( ()xyzxzx y eeeeeeexxx x x2y3 322 2222 2 z3 322 2222 2 )ezxzf(r)-zxzf(r)e()()xyyf(r)-xyf(r)()()0-+ yexzxyz z 【习题 1.21 解】xyzxyzABxyzAAzBB()()()y yx xz zxAABBB()BAxyzz()()()y yx xz zxAAA()B()B()y yx xz zx()()y yx xz zx BAAA()yzyzxzxyxBB()yzyzxzxyxBABA【习题 1.22 解】证明：令 则 左
12、边= =又由题得 =同理有 =故 等式右边 = = =故左边=右边，得证【习题 1.23 解】223222Va24032505XZYZXY+Z V =V 3Z =()Z)|a dxyddVaZA由 散 度 定 理 得 ：（ ） （ ） （ ） I（ ） ( =【习题 1.24 解】 222211111()()()()()()()Hct EEtcttctEct ctHHcttctEEE AA证毕。【习题 1.25 解】由题意可知：左= 2()()vA= )xyzeeexA= + ()x()()yzeyz=A= +A= 2即证【习题 1.26 解】（1）解： = sin x sin y sin x sin y 2xze2y2ze= sin x sin y 2zz ；22 （ ）sin x sin y 0；2xy
