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1、键入文字1概率论与数理统计习题及答案习题五1.一颗骰子连续掷 4 次，点数总和记为 X.估计 P101050.3485. 有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3m.现从这批木柱中随机地取出 100根，问其中至少有 30 根短于 3m 的概率是多少？【解】设 100 根中有 X 根短于 3m，则 XB（100，0.2）从而 301.2301308P(2.5).98.66. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为 0.8.医院检验员任意抽查 100 个服用此药品的病人，如果其中多于 75 人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.（1） 若实际上此药品对这
2、种疾病的治愈率是 0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.7，问接受这一断言的概率是多少？【解】 ,1,20.0.iiXi第 人 治 愈其 他令1.ii(1) XB(100,0.8)，10 7510.8751752iiPPX (.2)(.).94(2) XB(100,0.7)，10 7510.751753iiPPX ()1(.9).27. 用 Laplace 中心极限定理近似计算从一批废品率为 0.05 的产品中，任取 1000 件，其中有 20 件废品的概率.【解】令 1000 件中废品数 X，则p=0.05,n=1000,XB(1000,0.05
3、)，E(X)=50，D (X)=47.5.故 1205130206.89.547.P键入文字461304.51.6.895.8. 设有 30 个电子器件 .它们的使用寿命 T1，T 30 服从参数 =0.1单位：（小时）-1 的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令 T 为 30 个器件使用的总计时间，求 T 超过 350 小时的概率.【解】 1()0,.iE2()0,iD33.T故 50550111(0.93).18433PT9. 上题中的电子器件若每件为 a 元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以 95%的概率保证够用（假定一年有 306 个工作日，每个工作日为 8
4、 小时）.【解】设至少需 n 件才够用.则 E(Ti)=10，D (Ti)=100，E(T)=10n，D(T )=100n.从而 即13068.95,iPT3061. .故 2424.8.95,1.6,27.0nnn所以需 272a 元.10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1 名家长、2 名家长来参加会议的概率分别为 0.05,0.8,0.15.若学校共有 400 名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.（1） 求参加会议的家长数 X 超过 450 的概率？（2） 求有 1 名家长来参加会议的学生数不多于 340 的概率.【解】
5、（1） 以 Xi(i=1,2,400)记第 i 个学生来参加会议的家长数.则 Xi的分布律为Xi 0 1 2P 0.05 0.8 0.15易知 E（X i=1.1）,D(X i)=0.19,i=1,2,400.而 ,由中心极限定理得40i401.401.(0,).99i XN近 似 地于是 5.450541PXP键入文字51(.47)0.135(2) 以 Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则 YB(400,0.8) 由拉普拉斯中心极限定理得.830(2.)0938.40P11. 设男孩出生率为 0.515，求在 10000 个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】用 X 表 10000 个婴
6、儿中男孩的个数，则 XB（10000，0.515） 要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求PX5000. 由中心极限定理有 5010.5(3)1()0.135.4812. 设有 1000 个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为 0.9.以 95%概率估计，在一次行动中：（1）至少有多少个人能够进入？（2）至多有多少人能够进入？【解】用 Xi表第 i 个人能够按时进入掩蔽体（i =1,2,1000）.令 Sn=X1+X2+X1000.(1) 设至少有 m 人能够进入掩蔽体，要求 PmSn10000.95，事件900.91n 由中心极限定理知： .10.9501nnPmSm从而 9.5,故
7、 01.6,9所以 m=900-15.65=884.35884 人(2) 设至多有 M 人能进入掩蔽体，要求 P0SnM0.95.0.95nS查表知 =1.65,M=900+15.65=915.65916 人.9013. 在一定保险公司里有 10000 人参加保险，每人每年付 12 元保险费，在一年内一个人死亡的概率为 0.006,死亡者其家属可向保险公司领得 1000 元赔偿费.求：（1） 保险公司没有利润的概率为多大；键入文字6（2） 保险公司一年的利润不少于 60000 元的概率为多大？【解】设 X 为在一年中参加保险者的死亡人数，则 XB（10000，0.006）.(1) 公司没有利润
8、当且仅当“1000X=1000012”即“X=120”.于是所求概率为 1120.061200.6.9494P21(60/5.)230.18 e59.42.7eA(2) 因为“公司利润60000” 当且仅当 “0X60”于是所求概率为6.601.0601009494PX().5.614. 设随机变量 X 和 Y 的数学期望都是 2，方差分别为 1 和 4，而相关系数为 0.5 试根据契比雪夫不等式给出 P|X-Y|6的估计. （2001 研考）【解】令 Z=X-Y，有()0,()()2()3.XPEDDYDYA所以 2(1|()|6|6.362PZPX15. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔
9、户中，被盗索赔户占 20%，以 X 表示在随机抽查的 100 个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.（1） 写出 X 的概率分布；（2） 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率近似值.（1988 研考）【解】 （1） X 可看作 100 次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是 0.2，因此，XB(100,0.2) ，故 X 的概率分布是1010C.28,210.kkP(2) 被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率即为事件14X30的概率.由中心极限定理，得 3.4.14010281028X(.5)(.)9.3.971
10、6. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重 50 千克，标准差键入文字7为 5 千克，若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977.【解】设 Xi（i=1,2,n）是装运 i 箱的重量（单位：千克） ，n 为所求的箱数，由条件知，可把 X1，X 2，X n 视为独立同分布的随机变量，而 n 箱的总重量 Tn=X1+X2+Xn是独立同分布随机变量之和，由条件知：()50,iE()5,iDnT.nT依中心极限定理，当 n 较大时， ,故箱数 n 取决于条件0(1)5N近 似 地 50nnTPT1.97(2).因此可从 解出 n98.0199,102n即最多可装 98 箱.
