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1、1第四节 全概率公式与贝叶斯公式(续)定理 设事件组 满足：nB,21（1） ；SBnii1（2） 互不相容；n,21（3） ，iBPi ,2,1,0)(如果某 ,则在概率计算中)(0i将其去掉)则有如下结论(I)对任意事件 ，恒有A; (1.10)|()(1iniiBPAP(II)对任意事件 ，有)0)(A,nj jjiiii BPAPBBP1)|()|)()|(,(1.11)ni,2,2注:这两个公式当 时,n(条件也变为可列个事件),也有相应的公式.,)|()(1iiiBAPAP.1)|()|()()|( j jjiiii BAPB1. 理论意义,以后经常在论证推导中用到;2. 实际计算
2、概率方法,化难为易,解决问题;3. 注意典型例题及在变化的情景中灵活运用;4. 贝叶斯公式在概率诊断,概率推断方面有用。例 4 在无线电通讯中,由于随机干扰,当发出信号为“0”时,收到信号为“0” 、不清和 1 的概率分别为0.7,0.2,0.1; 当发出信号为 1 时,收到信号为 1、不清和 03的概率分别为 0.9,0.1 和 0.如果在发报过程中 0 和 1 出现的概率分别是 0.6 和 0.4,当收到信号不清时,原发信号是什么？试加以推测.解 设 原发信号为1B“0”,原发信号为“1”,2收到信号“不清”,A由贝叶斯公式得)|()|()|()|( 221111 BAPBAPBP,75.
3、01.4.0.6.0)|()|()|()|( 221122 BAPBAPABP.5.0.4.02.6.0由于收到信号不清时, 原发信号为“0”概率较之原发信号为“1”的概率为大,因此通常应推断原发信号为“0”.4例 5 甲袋中装有 3 只红球、2只白球,乙袋中装有红、白球各 2只.从甲袋中任取 2 只球放入乙袋,然后再从乙袋中任意取出 3 只球.(1) 求从乙袋中至多取出 1 只红球的概率;(2) 若从乙袋中取出的红球不多于 1 只,求从甲袋中取出的 2 只全是白球的概率.解 令 从乙袋中至多取出 1 只红球 ,A从甲袋中恰好取出 只红球,iBi( 只白球), ;i2 2,0(1)易知 互不相
4、容,210,B,且SB210;2,103,60,1)(253iiiCBPiii5又, 2,51,0,54)|(36241402 iiiCBAPiiiii故由全概率公式得)|)()(20iiiBAPAP;25103216541(2)易知要求概率 ,)|(ABP由贝叶斯公式得.12540)(|)|(00 APBP第五节 事件的独立性一般情况下,条件概率,)()()|( APBAP这说明事件 的发生对于事件6发生的概率有影响.A如果事件 的发生不影响事件B发生的概率,即 ,)()()|( APBAP便得 .)(我们把具有这种性质的两个事件 与 称为是相互独立的,即有 AB定义 8 对任意两个事件 、
5、 ,AB若成立 ,)()(BPAP则称 与 相互独立,简称独立.AB例 把一颗匀称的骰子连续掷两次,观察出现的点数。第一次掷出 5 点,A第二次掷时出 5 点,B则显然有 , ,61)(AP61)(BP, 3)(成立 ,)(BPABP即 与 相互独立。A7(这与实际感觉到的相符).特殊事件的性质:(1)若 ,则对任意事件 ,0)(CPB, ,B0)()(CP,)(0)(B与 相互独立;C特别 与 相互独立.(2)若 ,对任意事件 ,1)(PB由 且 知SC, ,0)(0)(B且 ,)()( BCPCPPB故 ,)()()(C即 与 相互独立;特别 与 相互独立.SB(3)设 为事件,若对任意事
6、件 ,都AB有 与 相互独立,则有或 .0)(P1)(AP事实上, ,对任意)(BPB事件 ,B特别取 ,则A8,)()()( APAP于是有 或 ,再由 (1)和01(2)得证.事件相互独立判别法:定理三 对任意事件 、 ,AB且 ,则 与 独立的充分必要0)(BPAB条件是.)()|(P证明 必要性 已知 与 独立,AB即 有 ,)()(AB于是;)()()()|( APBAPBP充分性 已知 ,)()|即得,)()|()( BPAPA从而 ,)(B即得 与 独立.A定理三 对任意事件 、 ,AB9且 , ，则 与 独立的0)(BP0)(AB充分必要条件是.)|()|(PA(独立涵义直观理
7、解的公式化)证明 必要性 已知 与 独立,即 有AB,)()(PP从而,)()()()|( ABPABPA)()()|(P)(BPA)()(BPA,)()(1于是 )|(| BAPBAP充分性 已知 ,)|()|(BAPBAP10由 ,)()|(BPAP)()()|( BPA,)(1AP得出 ,)(BP)(BP,)(1)( ABPA于是 ,)()(A即得 与 独立.B独立事件的性质定理四 若 与 独立,则AB(1) 与 独立;(2) 与 独立;(3) 与 独立.AB(结论的直观理解)证明 (1)因 , ,ABBA故 )()()()()( PPPB,111由定义知, 与 独立;AB(2)同理可证
8、或由 与 的地AB位对称性,得 与 独立;(3) 与 独立，推得 与AB独立，利用 (1)，B得 与 独立(或 )(1)()( BAPBAP(1)()(1BPA,)(P即得 与 独立)有限多个事件的独立性和无穷多个事件的独立性.定义 9 (1)若事件 满足条件:nA,21, ,)()(jiji PAPji则称 个事件 是两两独立nn,21的.12(2)若事件 满足条件:nA,21对任意整数 ( )和k,niik21恒有,)(21kiiAP )()()(21 kiii APP则称 个事件 相互独nn,立.(3)对于可列无穷多个事件,若其中任意有限多个,21nA事件都相互独立, 则称可列无穷多个事
9、件 相互独立.,21n显然,若事件 相互独立 ,则nA,21事件 是两两独立的 ;nA,21反之,若事件 是两两nA,21独立的,事件 未必相互独nA,21立.13例如 4,321S(比如正四面体),21A323,13A显然 ,2)()()(321PP,41)()(2121 AA,)()(3131PP,41)()(3232 AA即 是两两独立的;321,但 ,)()(0)( 321321 APAP从而 不相互独立.321,定理五 若事件 相互nA,21独立,则事件 也相互独立 .nB,21其中 为 或 , .iBiAi ,14事件的独立性一种是特殊简单情形,有了独立性,计算概率和理论推导就容易
10、.判断独立性靠定义和性质.实际中,事件的独立性常常根据经验来判断或告诉是独立的.一般地,若 个事件 中的每nnA,21一个事件发生的概率都不受其它事件发生与否的影响,那么就可以认为这 个事件是相互独立的.n独立条件下一些概率计算公式设事件 相互独立, 则nA,21(1) )(21nAP;)()(21nAPAP(2) )(21n)21nAAP(;)()121 nP(3) )(21 nAAP15)(21nAP.)()(121nP例 1 设甲乙两人独立地射击同一目标,他们击中目标的概率分别为 0.8 和 0.6。每人射击一次，求目标被击中的概率。解 令 目标被击中，A甲击中目标，B乙击中目标，C由题
11、意知， 与 独立，BAC， ；8.0)(P6.0)(P于是)()()()()( BCBCAPP。92.06.8.06.8.0或 )(1)(ACBP)(16)()(1CPB。92.04.2.0例 2 三人独立地破译一个密码，他们各自能破译的概率分别为0.5,0.6,0.8,求至少有两人能将密码译出的概率.解 设 至少有两人将密码译出,A第 个人将密码译出,ii,321由题意知, 相互独立,且,A,321321321321 AA故由概率的有限可加性和独立的性质得 )()()()()( 321321321321 APAAPAP (1 8.065.806.58.045.06.5 .717破译密码的故事
12、，电视剧暗算 、 对手 、 风语 。例 3 已知事件 相互独立,DCBA,且 ,)(21)()()( PBPA， 求 .6548)(DC)(A解 由独立性及概率性质得)(BAPDC )()()()( DP,2211AAP而 )(DCB)(,6251481得到 ,)()(AP化简得 ,013105得 ,或 (舍去),1)(AP)(18故 .51)(AP例 4 袋中装有 红球, 个白球,从rw中作有放回的抽取,每次取一球,直到取得红球为止.求恰好 次取得白n球的概率.解 设 恰好 次取得白球,A第 次取得白球,iWi第 次取得红球,iR, ， ,wrPi)( wrPi)( 2,1i根据题意知,12
13、1nRWA且 相互独立,121,n从而 )()()()()( 121 nnRPPAP.wrrn)(例 5 甲、乙两人的射击水平相当,于是约定比赛规则:双方对同一目标轮流射击,若一方失利,另一方可以继续射击,直到有人命中目标为19止.命中一方为该轮比赛的优胜者.你认为先射击者是否一定沾光？为什么？解 设甲、乙两人每次命中的概率均为 ,p失利的概率为 ，q,)1,10( p令, 次 射 击 命 中 目 标第 iAi( ).,21假设甲先发第一枪,则()P甲 胜12312345( )AA)()()( 543213211 APP345)()AAPA pqpqp42)1(422021qp,1()()1pqq又可得)()(甲 胜乙 胜 PP,q1因为 ,0q所以 .)()(乙 胜甲 胜 PP（这个结论正应证了中国古语：先下手为强，后下手遭殃。社会精神智慧学意义非常普遍，“狭路相逢，勇者胜” ， “抢占先机”，奥运会上的击剑、柔道决赛上就出现了主动出击者，最终获胜这种情况。 “不要输在起跑线上”等等。）
