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1、第 1 页 共 5 页概率论与数理统计第六、七章（点估计）复习题解答1. 设来自总体 的一个样本为 , (1) 求 , , ; (2) 求经验分X )431,21,(),(1021x x2sB布函数 并作图; (3) 求总体期望 , 方差 的矩估计值.)(*10xFXE2)XD解: 来自总体 的一个样本为 , 故)431,1,2(),(1021x(1) , , . 310iixx6.4)(9012iis 2)(012iixB(2) 样本的频数分布为样本值 1 2 3 4频数 3 2 2 3频率分布为样本值 1 2 3 4频率 0.3 0.2 0.2 0.3经验分布函数及其图形为4 ,137.0
2、2 ,51.,0)(*10xxxF00 1 2 3 4 x(3) ， ，令 ，即得 ；)(1XEXA11A3X， ，令 ，即 ，2222 )()()( EDnii122AniiX122解得 .411 222 BXnXniiii(若记得教材第 179 页例 3 的结论 , 也可以利用来直接求 , 的矩估计值.) )(XE2)(D2. 设 是总体 的样本，求概率 .21,X)2,1(N408.21P解: 是总体 的样本，故 , 且相互独立. 所以, , )(,2NX1y10.70.50.3第 2 页 共 5 页. 从而 , )4,0(21NX )10(21NX )1()22X)408.)(21XP
3、 )0.)(21P )0.)(1P, 于是 , 查表知 , )2.)2(1 2.)1(212.)(275.0即.50,75.0 5.0)48.)(21XP(考虑一下: 此题如果不用 分布, 而利用标准正态分布函数表, 该怎么求解?)23. 设 是总体 的样本，证明: .521,X ),0(2N )1(3254321tXY证明: 是总体 的样本，故 , 且相互独立. 所以521, ),(2 ),0(, 2521NX(1),0(3,)3,0(2123 NXNX. 从而 , (2)2,(54 )1(254X )1()2254X且 与 相互独立. (3)321X54)(由 (1) (2) (3) 及
4、t 分布定义知, 即 . 证毕.)1(/)2(35421tX )1(3254321tXY4. 设随机变量 , (1) 求 , ; (2) 当 时, 求常数 , 使概率)(nmF)120(.F)12,0(9.F10nmc, 并把 用上 分位点记号表示出来; (3) 当 时, 求概率 .05.)(cFPc,5)84(FP解: (1) 查教材第 452 页附表得 : , ; 30.4)12,0(.F 21.07.)10,2()12,(.09. FF(2) 查教材第 449 页附表得: 8.),(05.c(3) 当 时, 查教材第 448 页附表得: , .20,15nm 84.1)20,5(1.0F
5、 10)84.(P5. 设总体 , (1) 从中随机抽取容量为 25 的样本，求样本均值 落在 4.2 到 5.8 之间的概率; (2) )(NX X第 3 页 共 5 页样本容量 取多大时 , 可使 ?n95.0)8.(XP解: 由题意及抽样分布定理知, 故 , . )4(nN)1,0(25NX(1) 这里 , 从而 , 于是25n)10(25X 908.1954.021)(2)()2)4.058.4.05()8.52.4( PXP(2) 要使 , )645.(9.0).()2.().( nnX由分布函数的单调不降性知, 只需 , 即只要 , 故取 即可.645.1.091.6n17n6.
6、设 是总体 的样本， 是样本方差, 且 , 求常数 .1021,X ),(2N2S.0)(2aSPa解: 由题意及抽样分布定理知 . 这里 , 故 . 于是)1()122nSn4,10n)9(162, 从而 , 1.0)691()(22aSPaS 68.4)9(621.0a.2a7设某厂生产的晶体管的寿命服从指数分布，即 ，未知. 现从中随机抽取 5 只进行测试，0,)(EXP得到它们的寿命（单位：小时）如下：518 612 713 388 434. 试求该厂晶体管平均寿命的最大似然估计值.解: 晶体管寿命 的分布密度为 , 参数 .X0 ,01)(xexfx0似然函数 .nixeLinii
7、,21,1)( ,ln)(ln1i i令 0)(1)(1)(l 12212 niniii i xxxLd 第 4 页 共 5 页则 （小时）为所求最大似然估计值.53)4387162518(1 nix8设总体 的一个样本为 ， 的分布密度为 , 参数 ，X),(21nX elsxxf ,02)(0未知. (1) 求 的矩估计量; (2) 求矩估计量的方差; (3) 求 的最大似然估计量. 解: (1) ， ，令 ，即 32)()(01 dxdxfXE XA11AX32得矩估计量 ；23(2) , nXDXD)(49)()()( 而 , , 202221)()( dxdxfE 18)32(1)(
8、)()( 22 XEXD于是 .nD8149)(2(3) 似然函数 . nixLiii ,21,0,)(12单调递减. 故,lnln)(ln1iix ,020)(l1nLdi )(lL当 取其最小可能值时, 有最大值, 从而 有最大值. )(lL)(注意到 . 等价于 如图nixi ,21,0 ,0max1ini0 xax1ini于是知 的最大似然估计值为 , 最大似然估计量为 .mii ma1iniX9. 设总体 有期望 , 方差 , 但均未知. 是取自总体 的样本, X)(E2)(XD,2 X, , . 试验证: 是 的无偏估计, 是 的渐近无nii1niiB122)(niiS12)(X2
9、B偏估计, 而 是 的无偏估计 .S第 5 页 共 5 页证明: (1) , 故 是 的无偏估计;)(1)(1)( XEnXEniii(2) , 从而 iiiiB12122)()()()()()()()()()()()( 22222122122 XEDXEDXEXEnXEnEiii )(222 当故 是 的渐近无偏估计.2B(3) , , 2121)(BnXnSii222 1)(1)( nBEnS故 是 的无偏估计. 证毕.210设 是总体 的一个子样， ， 存在且未知，任意正的常数nX,21 )(XE2)(D满足 . 试证: (1) 估计量 总是 的无偏估计；(2) 在上述无偏估计中),(ia1ianiia1最有效，并写出此时的最小方差.niiX1证明: 是总体 的一个子样，故 相互独立, 且与总体 有相同分布, 于是nX,2 nX,21 X， . 从而)(XEi 2)()(Di(1) , 故估计量 总是 的无偏估计. )()() 111nininiii aXEaa niiXa1(2) , nininiiiD12112)()() 当且仅当 时， 取得最小值，即 时， 取得最小值，naa21i12 ),21(niai)(D故在形如 的无偏估计中， 最有效. niiX1niiX1此时, 最小方差为 . 21)(nD
