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1、12014 级高等代数课程论文专业_ 数学与应用数学 学号_ 3136002057 姓名_吴慧萍论文题目_线性变换与对角矩阵 _ 线性变换与对角矩阵本章第 7 节主要讲线性变换的矩阵，在学习了这一节后，我不禁产生了一个问题：什么样的线性变换在适当的坐标系下是对角矩阵？书上给出的定义如下：A 在某一组基下的矩阵是对角形的条件。（1） 充要条件：A 有 n 个线性无关的特征向量。（2） 充分条件：A 有 n 个不同的特征值。（3） 充分条件：当 v 是复线性空间时，A 的特征多项式没有重根。也就是说，如果在 n 维线性空间 V 中，线性变换 A 的特征多项式在数域 P 中有 n 个线性无关的特征根
2、，即 A 有 n 个不同的特征值，则 A 在某组基下的矩阵是对角形的。对此，书上给出了一个例题：eg：设 A 是 F3 的一个线性变换，已知 A(1，0，0)=(1，2，-2)A(0，1，0)=(2，1，-2)A(0，0，1)=(2，-2，1)求 F3 的一组基，使 A 在这组基下的 矩阵是对角形。1X书上解法如下：先写出 A 在（1,0,0） ， （0,1,0） ， （0,0,1 ）下的矩阵为 ,12= =( -1)( +1)( -3).EA121求得 A 的特征值为 1，-1，3.2由 =1 得齐次方程组2310x解之，得 A 的属于特征值 1 的特征向量为 （1， -1，1） （ 0）k
3、1k同理，解得 A 的属于特征值-1 的特征向量为 （1，-1，0） （ 0）22A 的属于特征值 3 的特征向量为 （0，1，-1） （ 0）3k3k取（1，-1 ，1） ， （1，-1 ，0） ， （0，1，-1）为基，则 A 在这组基下的矩阵为对角形。3对于这题，我们可以引申如下：对于一个线性变换，先求特征值，再求出每一个特征值的线性无关的特征向量，把它们合在一起还是线性无关的。如果他们的个数等于空间的维数，那么，这个变换在一组合适的基下的矩阵是对角矩阵。当然，我们也可以从另一方面来理解线性变换与对角矩阵的关系。我们知道，矩阵的对角化源于线性变换的化简。设一线性变换 a 在基 m 下的矩
4、阵为 A,在基 n 下的矩阵为B，m 到 n 的过渡矩阵为为 X，那么可以证明：B= AX,定义：A,B 是两个矩阵，如1X果存在可逆矩阵 X,满足 B= AX，那么说 A 和 B 是相似的（是一种等价关系） 。1如果存在可逆矩阵 X 使 A 与一个对角矩阵 B 相似，那么说 A 可对角化。相应的，如果线性变换 a 在基 m 下的矩阵为 A,并且 A 相似于对角矩阵 B,那么令 X 为过渡矩阵即可求出基 n,并且在 n 下线性变换 a 的矩阵为对角矩阵，从而达到化简的目的。对此，我们给出以下例题：Eg:设线性变换 A 在基 下的矩阵是 ，设 A= ,问 A 是否1,23123216可对角化？若可对角化，求可逆矩阵 T,使 为对角矩阵。1024TA1T解：A 的特征多项式为3，32321() 216()46AfE得 A 的特征值 123,4对于特征值 ，解齐次线性方程组（2E-A）X=0，即 ，12 123102436x得基础解系= T(,0)(,1所以属于特征值 的两个线性无关的特征向量为12 TT12(,0)(1,)对于特征值 ，解齐次线性方程组（-4E-A）X=034即 ，得基础解系（ ）1237026x12,3所以属于特征值 的一个线性无关的特征向量为4312(,)因为 是线性无关的，所以 A 可以对角化。123,令 T=( )= 则123,132011204T
