《本章介绍了线性方程组有解及充要条件和求解及方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《本章介绍了线性方程组有解及充要条件和求解及方法（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、本章介绍了线性方程组有解的充要条件和求解的方法；为了在理论上深入的研究与此有关的问题，本章还引入了向量和向量空间的基本概念，介绍了 向量的线性运算，讨论向量间的线性关系，向量的内积等有关概念和性质，并在此基础上，研究线性方程组解的性质和解的结构等问题。一、 一、 线性方程组1、Cramer 法则教材 p64，定理 2.12、线性方程组有解的判别定理教材 p72，定理 2.33、线性方程组的消元解法 步骤： （1）对线性方程组的增广矩阵施以初等行变换，将其化为阶梯型矩阵（2）如果系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等，表明方程组无解；如果相等，则表明有解，继续对阶梯型矩阵进行初等行变换，求出方程的解。
2、 【详见 p68】初等行变换： （1） （1） 交换两方程的位置； （2） （2） 用一个非零数乘某一方程； （3） （3） 把一方程的若干倍加到另一方程去4、消元法与 Cramer 法则的异同： 在条件的限制上，Cramer 法则仅适用于方程数与未知数相等并且系数行列式不为零的情况，而消元法对此没有限制。即便是满足 Cramer 法则的要求，用消元法可以区分方程组无解还是有无穷多解，而 Cremer 法则却不能区分二、 二、 向量及向量间的线性关系（一）向量的定义1、向量、行向量、列向量【教材 p77，定义 2.1】2、零向量【教材 p78,定义 2.2】3、向量的相等【教材 p78,定义
3、2.3】4、向量的加法、减法【教材 p78,定义 2.3】5、数乘向量【教材 p78,定义 2.5】6、n 维向量空间【教材 p78,定义 2.6】7、n 维向量空间的子空间【教材 p78,定义 2.7】（二）向量间的线性关系1、线性组合（1）一个向量可表为一个向量组的线性组合，或称此向量可由此向量组线性表出【教材 p80,定义 2.8（2）一个向量可表为一向量组的线性组合的充要条件：由它们做系数及常数项组成的线性方程组有解【教材 p81】（3）几个结论a、n 维零向量是任一 n 维向量组的线性组合b、任一 n 维向量可由 n 维基本单位向量组线性表示c、向量组中的任一向量可由此向量组线性表示
4、2、向量组的线性相关与线性无关（1）向量组的线性相关与线性无关的定义【教材 p82:定义 2.9,2.10】(2)几个充要条件 向量组线性相关的充要条件由它们做系数组成的齐次线性方程组有非零解【教材 p83】 向量组线性无关的充要条件由它们做系数组成的齐次线性方程组仅有零解【教材 p83】 一个向量组线性相关的充要条件是由它们做系数组成的齐次线性方程组的系数行列式等于零【教材 p83】 一个向量组线性无关的充要条件是由它们做系数组成的齐次线性方程组的系数行列式不等于零【教材 p83】： 一个向量组线性相关的充要条件是此向量组中至少有一个向量可以表为其余向量的线性组合【教材 p85：定理 2.6
5、】 一个向量组线性无关的充要条件是此向量组中每一个向量都不能表为其余向量的线性组合【教材 p86：定理 2.6 的推论】 若一向量可由一向量组线性表出，则表示法唯一的充要条件是此向量组线性无关三、向量组 （一）向量组的极大无关组1、向量组的极大无关组的定义【教材 p89:定义 2.11】2、两向量组的等价【教材 p90:定义 2.12】相关结论：3、向量组和它的极大无关组等价4、向量组的任意两个极大无关组之间等价5、如果向量组 s,21 可由向量组 t,21 线性表出，并且 st，则向量组 s,21 线性相关。6、如果向量组 s,21 线性无关，并且可由向量组 t,21 线性表出，则st7、两
6、等价的并且都线性无关的向量组所含向量个数相同8、一向量组的任意两个极大无关组所含的向量个数相同由结论 8，一向量组的极大无关组所含向量的个数是此向量组的一个重要特征，为了描述此特征，我们引入向量组的秩的概念：（二）向量组的秩1、定义：向量组的秩就是其极大无关组所含向量的个数2、规定：由零向量组成的向量组的秩为零3、一向量组线性无关的充要条件它的秩等于它所含向量的个数4、若两向量组等价，则它们的秩相等5、矩阵的行秩与列秩的定义，分别为行向量组的秩与列向量组的秩6、初等变换不改变矩阵的行秩与列秩7、矩阵的行秩与列秩相等且即为矩阵的秩四、线性方程组解的结构（一）齐次线性方程组解的结构1、齐次线性方程
7、组解的性质：齐次线性方程组的解的线性组合仍是该齐次线性方程组的解2、齐次线性方程组的基础解系的定义：解向量组的一个极大线性无关组3、求齐次线性方程组的基础解系【教材 p96:定理 2.13】（二）非齐次线性方程组解的结构1、非齐次线性方程组解的性质【教材 p100】2、求非齐次线性方程组的基础解系【教材 p100:定理 2.14】五、标准正交基（一）向量内积1、 nR的基【教材 p102:定义 2.16】2、 的向量在某一组基下的坐标【教材 p102:定义 2.17】3、向量的内积【教材 p103:定义 2.18】4、向量内积的性质【教材 p103】5、向量的长度【教材 p104:定义 2.1
8、9】6、向量长度的性质【教材 p104】7、单位向量与向量的单位化【教材 p104】（二）正交向量组1、向量正交的定义：若两向量内积为零，则称两向量正交【教材 p104:定义 2.20】2、正交向量组的定义：【教材 p104:定义 2.21】3、正交向量组的性质：正交向量组线性无关4、标准正交基【教材 p105:定义 2.22】5、向量组的正交化施密特正交化法：从一个线性无关的向量组出发，求一个与之等价的正交向量组的方法【教材 p106:定理 2.16】（三）正交矩阵1、正交矩阵的定义：【教材 p109:定义 2.23】2、正交矩阵的性质：（1）n 阶实矩阵 A 为正交矩阵的充要条件是 A 可逆，并且 AT.（2）n 阶实矩阵 A 为正交矩阵的充要条件是. ET（3）如果 A 是正交矩阵，则 1*,也是正交矩阵（4）如果 A，B 均为 n 阶正交矩阵，则 AB 也是 n 阶正交矩阵（5）如果 A 是正交矩阵，则 detA1 或 1
