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1、随机事件的期望与方差及正态分布【知识梳理，考点分析】1、离散型随机变量的均值与方差的概念若离散型随机变量 X 的分布列为(1)期望：称 E(X)_为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差：称 D(X)_ 为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的_，其算术平方根 为随机变量 X 的标准DX差2、离散型随机变量的均值与方差的性质E(aXb) ，D(aXb) 3、几个重要分布的均值和方差(1)若 X 服从两点分布，则 E(X) ，D(X) ；(2)若 XB(n ，p) ，则 E(X) ，D( X) ；(3)若 X 服从超几何分布 P(
2、Xk) ，则 E(X)CkMCn kN MCnN nMN4、正态曲线与正态分布正态曲线：如果一条曲线就是(或近似地是)下列函数的图象： ， (x) e12，x (，)，其中实数 和 (0) 为参数，我们称 ， (x)的图象为x 222正态分布密度曲线，简称正态曲线正态分布：如果对于任何实数 a，b(ab)，随机变量 x 满足 P(axb) ， (x)dx，ba则称 x 服从正态分布，记为 x N(， 2)5、正态曲线的特点(1)曲线位于 x 轴上方，_；(2)曲线是单峰的，它关于_；(3)曲线在 x 处达到峰值_； (4)曲线与 x 轴之间的面积为_；X x1 x2 xi xnP p1 p2
3、pi pn(5)当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿_平移；(6)当 一定时，曲线的形状由_确定， 越小，曲线越 “瘦高”，表示总体的分布越_； 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越_6、3 原则(1)3 原则的含义：在实际应用中，通常认为服从正态分布 N(， 2)的随机变量 X 只取_之间的值，并简称之为 3 原则(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：若 X N(， 2)，则有 P( X ) 0.6826， P( 2 X 2) 0.9544，P( 3 X 3) 0.9974.(3)正态总体在(3，3)外取值的概率：正态总体几乎总取值于区间(3 ， 3) 之内，而在此区
4、间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生【例题剖析，变式演练】例 1、甲、乙、丙三名应届大学毕业生参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响求：12(1)至少有 1 人面试合格的概率；(2)签约人数 X 的分布列和数学期望及方差 D(X)变式：盒子内有相同的白球和红球，任意摸出一个球是红球的概率为 0.1，每次摸出球后都放回盒子内。（1）摸球 5 次，求仅出现一次红球的概率（保留 2 位有效数字） ；（2）摸球 3 次，出现
5、 次红球，写出随机变量 的分布列，并求 的均值和方差；XXX（3）求从第一次起连续摸出白球数不小于 3 的概率。例 2某公司要将一批海鲜用汽车运往 A 城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入 30 万元，每提前一天送到，将多获得 1 万元，每迟到一天送到，将少获得 1 万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路 1 或公路 2 中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示统计信息汽车行驶路线不堵车的情况下到达所需时间(天)堵车的情况下到达所需时间(天)堵车的概率运费(万元)公路 1 2 3 110 1.6公路 2 1 4 12 0.8(1)记汽车走公路
6、1 时公司获得的毛利润为 (万元)，求 的分布列和数学期望E；(2)假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？(注：毛利润销售收入运费)变式：上海世博会深圳馆 1 号作品大芬丽莎是由大芬村 507 名画师集体创作的 999幅油画组合而成的世界名画蒙娜丽莎 ，因其诞生于大芬村，因此被命名为大芬丽莎 某部门从参加创作的 507 名画师中随机抽出 100 名画师，测得画师的年龄情况如下表所示分组(单位：岁) 频数 频率20,25) 5 0.05025,30) 0.20030,35) 35 (1)频率分布表中的、位置应填什么数据？并补全频率分布直方图)，再根据频率分布直方图估
7、计这507 个画师中年龄在30,35)岁的人数(结果取整数)； (2)求画师的平均年龄例 3交 5 元钱，可以参加一次抽奖。一袋中有同样大小的球 10 个，其中有 8 个标有1 元，2 个标有 5 元，摸奖者只能从中任取 2 个球，他所得奖励是所抽 2 球标的钱数之和 。（I）求 的概率分布列； （II）求抽奖人获利的数学期望。变式：某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为 23和 1，且各株大树是否成活互不影响求移栽的 4 株大树中：（）两种大树各成活 1 株的概率；（）成活的株数 的分布列 及期望值。 35,40) 30 0.30040.45) 1
8、0 0.100合计 100 1.00例 4、据抽样统计，某省高考数学成绩服从正态分布，平均分为 80 分，标准差为 20，全省考生有 10 万人若一考生的数学成绩为 140 分，估计该生的数学成绩在全省的名次是第_名例 5、 在某项测量中，测量结果 服从正态分布 ，若 在 内取值21,0N0,1的概率为 0.4，则 在（0，2）内取值的概率为 。变式：已知随机变量 服从正态分布 ， ，则 （ 2,N40.8P0P）A0.16 B0.32 C0.68 D0.84【习题训练，巩固记忆】1、随机变量 的分布列如下：其中 a, b, c 成等差数列。若 ，13E则 的值是 。D2、 两封信随机投入 A, B, C 三个空邮箱，则 A 邮箱的信件数 的数学期望 = E。3、 设随机变量 服从正态分布 ，已知 ，0,1N1.960.25则 1.96PA0.025 B0.050 C0.950 D0.9754、设随机变量 具有分布列为 ，求 、 和1,234,566PkE23D 10 1P a b c5、某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 表示， 椐统计，随机变量 的概率分布如下：（）求 a 的值和 的数学期望；（）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率
