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1、1有 效 数 字 修 约 和 运 算 法 则 的 再 思 考吕 荣 禛（ 华 南 理 工 大 学 化 学 与 化 工 学 院 ， 广 州 五 山 ， 510640）摘要：本文对经常遇到的数据记录和处理中的有效数字问题进行了有意义的探讨。针对当前普遍采用的“四舍六入五成双”修约规则，提出了用“四舍五入恰五成双”新名称来表达更为合理和便于记忆的观点。在对数和三角函数的运算中，建议根据误差理论来判定有效数字的位数，而不是按照现流行教科书的观点认为氢离子浓度的有效数字与其 pH 值的有效数字位数一定相等。然后讨论了先修约后计算和先计算最后修约对最终计算结果的影响。在计算机/计算器普及的今天，本文提倡先
2、计算最后修约，这样不仅简化了许多繁琐的修约步骤，而且也可以保证数据的准确性，并且极大地提高了工作效率。关键词：有效数字；四舍五入恰五成双；修约规则；运算规则在 科 学 与 工 程 的 研 究 过 程 中 常 常 要 涉 及 记 录 大 量 的 原 始 数 据 以 及 进 行数 据 处 理 和 运 算 。 这 些 数 据 的 准 确 性 关 系 到 整 个 实 验 的 精 度 。 正 确 的 进 行有 效 数 字 的 记 录 取 舍 和 运 算 是 每 个 科 学 工 作 者 必 须 要 具 备 的 基 本 能 力 。用 来 表 示 量 的 多 少 ， 同 时 反 映 测 量 准 确 度 的 各
3、 数 字 称 为 有 效 数 字 。 实 验 中在 记 录 和 计 算 时 应 以 测 量 可 能 达 到 的 精 度 为 依 据 来 确 定 有 效 数 字 的 位 数 和取 舍 。 一 般 而 言 ， 在 记 录 测 量 值 时 必 须 记 录 全 部 准 确 数 字 和 一 位 不 确 定 数 字且 只 能 记 录 一 位 不 确 定 数 字 （ 可 疑 数 字 或 估 读 数 字 ） 1,2。 如 在 最 小 刻 度-作 者 简 介 ： 吕 荣 禛 ， 1987 年 生 ， 女 ， 研 究 生 ， 主 要 从 事 自 组 装 单 分 子 膜 诱 导 晶 体 生 长 方 面 的 研 究值
4、 为 0.1 mL 的 滴 定 管 中 读 得 数 据 3.87 mL， 3 和 8 是 准 确 数 字 ， 而 7 是 可疑 数 字 。 数 字 7 虽 不 是 准 确 数 值 却 也 客 观 反 映 物 理 量 的 大 小 ， 必 须 保 留 。这 样 3.87 mL 的 有 效 数 字 位 数 就 为 3 位 。 只 要 涉 及 到 测 量 及 与 测 量 有 关 的 计算 都 会 涉 及 到 有 效 数 字 的 取 舍 问 题 。 现 在 ， 直 接 使 用 第 一 手 测 量 数 据 的 机会 较 少 3， 大 部 分 的 数 据 都 是 要 经 过 计 算 来 提 交 最 终 的
5、计 算 结 果 。 因 此 ，在 计 算 过 程 中 有 效 数 字 的 取 舍 就 显 得 尤 为 重 要 。2一 修约规则名称问题“四 舍 五 入 法 ”是 我 们 过 去 所 熟 悉 的 修 约 规 则 。 它 深 深 地 印 在 我 们 的 脑 海 里 ，只 要 一 遇 到 有 效 数 字 计 算 的 问 题 ， 马 上 就 会 想 到 “四 舍 五 入 法 ”。 可 是 ， 在工 程 技 术 和 科 学 实 验 中 ， 经 常 要 对 大 量 的 数 据 进 行 统 计 分 析 。 如 果 仍 用 “四舍 五 入 法 ”， 就 不 够 精 确 4。 我 国 在 新 的 关 于 数 值
6、 修 约 的 国 标 GB/T 8170-2008 中 就 说 明 了 新 的 取 舍 规 则 ： 拟 舍 去 数 字 最 左 一 位 小 于 5 时 则 舍 去 ， 保留 其 余 数 字 不 变 ； 拟 舍 去 数 字 最 左 一 位 大 于 5 时 则 进 一 ； 拟 舍 去 数 字 最 左一 位 为 5 时 ， 其 后 有 非 0 数 字 时 进 一 ； 拟 舍 去 数 字 最 左 一 位 为 5， 其 后 没有 数 字 或 者 数 字 均 为 0 时 ， 其 所 保 留 的 末 位 数 字 为 奇 数 时 则 进 一 ， 为 偶 数 时则 舍 去 5。 这 个 被 称 为 “四 舍 六
7、 入 五 成 双 ”的 修 约 规 则 。从国标 GB/T 8170-2008 的介绍上看，新的修约规则看上去非常复杂，有很多种不同的条件，容易让人困惑。但是实际上与原来的“四舍五入” 的规则差别并不大，只是在“ 恰 5”（exactly one-half a unit）这个数字点上做了更为细致的划分。图 1 “四舍五入”与“ 四舍六入五成双 ”从 图 1 看 ， 新 旧 规 则 都 将 小 于 5 的 数 字 做 了 舍 去 处 理 （ 小 于 五 舍 去 ）和 将 大 于 5 的 数 字 做 了 进 位 处 理 （ 大 于 五 进 入 ） ， 如 1.465001 保 留 3 位 有效 数
8、 字 时 必 须 修 约 为 1.47。 本 文 将 “拟 舍 去 数 字 最 左 一 位 为 5， 其 后 没 有数 字 或 者 数 字 均 为 0 的 数 字 ”称 为 恰 5 数 字 ， “恰 五 ”对 应 图 1 中 数 轴 上一 个 点 。 对 恰 5 数 字 的 不 同 处 理 是 新 旧 规 则 的 差 别 所 在 。 如 果 将 所 有 恰 5数 字 进 位 ， 就 成 了 “四 舍 五 入 ”规 则 。 而 “四 舍 六 入 五 成 双 ”的 修 约 规 则 将“恰 5”的 情 况 分 成 两 种 ： 恰 5 前 面 的 数 字 为 偶 数 则 舍 去 5， 恰 5 前 面
9、的 数 字为 奇 数 则 进 一 。 例 如 ， 1.465000 保 留 3 位 有 效 数 字 则 舍 “恰 5”修 约 为1.46， 1.475000 保 留 3 位 有 效 数 字 则 进 “一 ”修 约 为 1.48。3从 统 计 学 的 角 度 来 说 ， “四 舍 六 入 五 成 双 ”的 修 约 规 则 更 科 学 6。 传 统 的“四 舍 五 入 法 ”逢 恰 5 就 进 一 ， 会 使 得 计 算 结 果 偏 大 。 而 根 据 现 行 的 修 约 规则 ， 恰 5 数 字 有 进 有 舍 ， 使 得 修 约 结 果 更 加 接 近 真 实 值 。 这 样 的 修 改 是
10、科学 合 理 的 ， 但 是 “四 舍 六 入 五 成 双 ”的 名 称 却 容 易 使 人 误 解 ， 如 容 易 将1.465001 修 约 为 1.46。 我 们 认 为 如 果 用 “四 舍 五 入 恰 五 成 双 ”表 达 新 规 则 则将 更 合 理 。 恰 5 成 双 ， 非 恰 5 数 字 时 采 用 四 舍 五 入 的 规 则 。 这 样 直 接 通 过“四 舍 五 入 恰 五 成 双 ”的 名 称 就 可 以 清 楚 的 知 道 这 个 修 约 规 则 适 用 的 条 件 ，达 到 望 文 生 意 ， 便 于 记 忆 。对 于 “四 舍 六 入 五 成 双 ”这 个 规 则
11、 ， 乔 成 立 等 7认 为 对 于 恰 5 数 字 情 况 使用 奇 进 偶 舍 的 方 法 还 是 不 够 科 学 。 他 们 提 出 ： 有 偶 数 个 “恰 五 ”这 样 的 数据 ， 就 舍 和 进 各 占 一 半 ， 这 样 关 于 舍 和 进 产 生 的 误 差 可 相 互 抵 消 ； 如 果 有 奇数 个 “恰 5”数 据 ， 就 按 奇 数 少 一 个 的 偶 数 个 数 舍 或 进 各 半 。 但 是 在 实 际 的 测量 和 运 算 过 程 中 ， 即 使 同 为 “恰 5”数 字 ， 它 们 对 整 体 的 贡 献 也 往 往 存 在 差别 ， 简 单 地 通 过 数
12、 学 均 分 来 考 虑 进 或 舍 的 情 况 不 能 解 决 准 确 性 的 问 题 。 二 对数和三角函数的有效数字位数问题取 对 数 的 运 算 中 ， 只 有 尾 数 的 部 分 代 表 有 效 数 字 ， 首 数 只 代 表 该 数 的 多少 次 方 8。 一 般 教 科 书 上 讲 ， 因 为 氢 离 子 浓 度 为 两 位 有 效 数 字 ， 其 pH 值也 为 两 位 数 字 。 例 如 ， H+=5.210-11， 有 效 数 字 的 位 数 是 2 位 （ 数 字 5 和2） ， 则 其 对 数 运 算 pH= -lgH+ = 10.28399， 按 照 有 效 数 字
13、两 位 要 求 ， 故正 确 表 达 为 ： pH= -lgH+ = 10.28， 10 为 首 数 ， 数 字 2 和 8 为 有 效 数 字 。对 数 运 算 经 常 出 现 在 分 析 化 学 的 有 关 计 算 之 中 。 类 似 地 ， 对 三 角 函 数 进 行计 算 的 时 候 ， 通 常 根 据 待 测 量 角 度 的 有 效 数 字 位 数 来 确 定 计 算 出 来 的 数 值 需保 留 的 有 效 数 字 位 数 9。 例 如 sin 38.25 求得的数值应保留 4 位有效数字为0.6191。在实验过程中，测试用的仪器都会注明测量的误差，如：pH 计的基本误差0.02
14、pH，测量角度用的游标角度尺的角度测量精度为0.5 ，温度计测量时为0.1 0C10。对于实际测量，例如不同测量精度 38.50.5或 38.50.1，套用上面的修约规则就会得到 sin38.50 = 0.623，这反映不出不同测量精度带来的影响和变化。我们建议根据误差传递的规律来决定相关有效数字的位数。4对于对数，如果 y = lgx，则 y = 0.434 xy+y = lgx+0.434如果 H+=5.210-11， 并 且 可 疑 数 字 2 有 1 个单位的误差既 x = 0.110-11，则 pH+pH = 10.283990.434 = 10.283990.00835。0.008
15、35 中的10.58 已经是可疑数字。根据有效数字中只允许有一位可疑数字的约定，因此有效数字位数为 3（8 在小数点后第 3 位） ，因此 pH = 10.283990.00835 = 10.2840.008。类似地，如果 H+=5.210-11， 并 且 可 疑 数 字 2 有 2 个单位的误差, 则 pH = 10.283990.0167 = 10.280.02，则得到的有效数字位数为 2。利用万用量角器测量得到的角度数据为 56.70.5，我们在进行三角函数计算的时候应该考虑0.5对有效数字位数的影响。假设 y = sinx, 则 y+y = sinx+cosxx， 注意x 一定用弧度表
16、示 , x =2z/360， z 为角度表示值。对于 z = 0.5，y+y = 0.835810.54900.008727=0.835810.00479=0.8360.005, 有效数字为 3 位。三 修约与计算的顺序问题在 进 行 科 学 实 验 的 数 据 记 录 数 据 处 理 和 计 算 过 程 中 ， 最 重 要 的 就 是 要保 证 实 验 数 据 的 准 确 性 和 可 靠 性 。 在 实 际 中 ， 最 终 需 要 使 用 的 数 据 往 往 不 是最 初 记 录 的 原 始 数 据 ， 而 是 经 过 复 杂 的 一 系 列 计 算 之 后 得 到 的 结 果 。 在 计算 的 过 程 中 ， 我 们 就 会 遇 到 不 同 精 度 的 数 据 ， 也 就 是 不 同 有 效 数 字 位 数 的 数据
