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1、 有 向 线 段 AB 的 长 度 叫 做 向 量 的 模 ， 记 作 |AB|。 有 向 线 段 包 含 3 个 因 素 ： 起 点 、 方 向 、 长 度 。 相 等 向 量 、 平 行 向 量 、 共 线 向 量 、 零 向 量 、 单 位 向 量 ： 长 度 相 等 且 方 向 相 同 的 向 量 叫 做 相 等 向 量 。 两 个 方 向 相 同 或 相 反 的 非 零 向 量 叫 做 平 行 向 量 或 共 线 向 量 ， 向 量 a、 b 平 行 ， 记 作 a/b， 零 向 量 与 任 意 向 量 平 行 ， 即 0/a， 在 向 量 中 共 线 向 量 就 是 平 行 向 量
2、 ， （ 这 和 直 线 不 同 ， 直 线 共 线 就 是 同 一 条 直线 了 ， 而 向 量 共 线 就 是 指 两 条 是 平 行 向 量 ） 长 度 等 于 0 的 向 量 叫 做 零 向 量 ， 记 作 0。 （ 注 意 粗 体 格 式 ， 实 数 “0”和 向 量“0”是 有 区 别 的 ） 零 向 量 的 方 向 是 任 意 的 ； 且 零 向 量 与 任 何 向 量 都 平 行 。 长 度 等 于 1 个 单 位 长 度 的 向 量 叫 做 单 位 向 量 。 编 辑 本 段 平 面 向 量 的 坐 标 表 示在 直 角 坐 标 系 内 ， 我 们 分 别 取 与 x 轴 、
3、 y 轴 方 向 相 同 的 两 个 单 位 向 量 i、 j 作为 基 底 。 任 作 一 个 向 量 a， 由 平 面 向 量 基 本 定 理 知 ， 有 且 只 有 一 对 实 数 x、 y， 使得 a=xi+yj 我 们 把 （ x， y） 叫 做 向 量 a 的 （ 直 角 ） 坐 标 ， 记 作 a=（ x， y） ， 其 中 x 叫 做 a 在 x 轴 上 的 坐 标 ， y 叫 做 a 在 y 轴 上 的 坐 标 ， 上 式 叫 做 向 量 的坐 标 表 示 。 在 平 面 直 角 坐 标 系 内 ， 每 一 个 平 面 向 量 都 可 以 用 一 对 实 数 唯 一 表 示
4、。 注 意 ： 平 面 向 量 的 坐 标 与 点 的 坐 标 不 一 样 ， 平 面 向 量 的 坐 标 是 相 对 的 。 而 点的 坐 标 是 绝 对 的 。 若 一 向 量 的 起 点 在 原 点 ， 例 如 该 向 量 为 （ 1， 2） 那 么 该 向 量 上的 所 有 点 都 可 以 用 （ a， 2a） 表 示 。 即 ， 若 一 向 量 的 起 点 在 原 点 ， 那 么 该 向 量 上的 任 意 一 点 的 横 纵 坐 标 比 例 关 系 与 向 量 坐 标 的 比 例 关 系 是 一 样 的 。 编 辑 本 段 向 量 的 运 算加 法 运 算向 量 加 法 的 定 义
5、已 知 向 量 a、 b， 在 平 面 上 任 意 取 一 点 A， 作 AB=a， BC=b， 再 作 向 量AC， 则 向 量 AC 叫 做 a 与 b 的 和 ， 记 做 a+b， 即 a+b=AB+BC=AC AB+BC=AC， 这 种 计 算 法 则 叫 做 向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 。 （ 首 尾 相 连 ， 连接 首 尾 ， 指 向 终 点 ) 同 样 ， 作 AB=a,且 AD=B,再 作 平 行 AD 的 BC=b， 连 接DC， 因 为 AD BC， 且 AD=BC， 所 以 四 边 形 ABCD 为 平 行 四 边 形 ， AC 叫 做a 与 b 的 和 ，
6、 表 示 为 ： AC=a+b. 这 种 方 法 叫 做 向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则 。 （ 共起 点 ， 对 角 连 ） 。 已 知 两 个 从 同 一 点 O 出 发 的 两 个 向 量 OA、 OB， 以 OA、 OB 为 邻 边 作 平 行四 边 形 OACB， 则 以 O 为 起 点 的 对 角 线 OC 就 是 向 量 OA、 OB 的 和 ， 这 种 计 算法 则 叫 做 向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则 。 对 于 零 向 量 和 任 意 向 量 a， 有 ： 0+a=a+0=a。 |a+b|a|+|b|。 向 量 的 加 法 满 足 所 有
7、的 加 法 运 算 定 律 。 减 法 运 算AB-AC=CB,这 种 计 算 法 则 叫 做 向 量 减 法 的 三 角 形 法 则 。 （ 共 起 点 ， 连 终 点 ，方 向 指 向 被 减 向 量 ） 与 a 长 度 相 等 ， 方 向 相 反 的 向 量 ， 叫 做 a 的 相 反 向 量 ， ( a)=a， 零 向 量的 相 反 向 量 仍 然 是 零 向 量 。 （ 1） a+( a)=( a)+a=0（ 2） a b=a+( b)。 数 乘 运 算实 数 与 向 量 a 的 积 是 一 个 向 量 ， 这 种 运 算 叫 做 向 量 的 数 乘 ， 记 作a， |a|=|a|，
8、 当 0 时 ， a 的 方 向 和 a 的 方 向 相 同 ， 当 a b （ 6） a=kba/b （ 7） e1e2=|e1|e2|cos=cos 编 辑 本 段 平 面 向 量 的 基 本 定 理如 果 e1 和 e2 是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 向 量 ， 那 么 对 该 平 面 内 的 任 一 向 量a， 有 且 只 有 一 对 实 数 、 ， 使 a= *e1+ *e2。 编 辑 本 段 相 关 练 习1 若 a =0， 则 对 任 一 向 量 b ， 有 a b=0. 2 若 a 0， 则 对 任 一 非 零 向 量 b ,有 a b0 错 （ 当 a b
9、时 ， a b=0） 3 若 a 0， a b =0， 则 b=0 错 （ 当 a 和 b 都 不 为 零 ， 且 a b 时 ， a b=0） 4 若 a b=0， 则 a b 中 至 少 有 一 个 为 0. 错 （ 可 以 都 不 为 0， 当 a b 时 ，a b=0 成 立 ） 5 若 a0， a b= b c， 则 a=c 错 （ 当 b=0 时 ） 6 若 a b = a c ,则 bc,当 且 仅 当 a= 0 时 成 立 错 （ a0 且 同 时 垂 直 于b， c 时 也 成 立 ） 7 对 任 意 向 量 a 有 a*a= a * a 编 辑 本 段 向 量 与 三 角 形 有 关 的 特 殊 规 律1.三 角 形 ABC 内 一 点 O， 向 量 OAOB=OBOC=OCOA， 则 点 O 是 三 角 形的 垂 心 。 2.若 O 是 三 角 形 ABC 的 外 心 ,点 M 满 足 向 量 OA+向 量 OB+向 量 OC=向 量OM， 则 M 是 三 角 形 ABC 的 垂 心 。 3 若 O 和 三 角 形 ABC 共 面 ， 且 满 足 向 量 OA+向 量 OB+向 量 OC=零 向 量 ，则 O 是 三 角 形 ABC 的 重 心 。
