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1、目录1. 线性变换的不变子空间1.1 代数学的发展历程简介1.2 线性变换的不变子空间的概念及性质1.3 线性变换的不变子空间性质的多种证明2.研究线性变换的不变子空间的必要性与可行性2.1 研究该问题的必要性2.2 研究该问题的可行性3. 线性变换的不变子空间的国内外研究现状3.1 国内研究现状3.2 国外研究现状4.线性变换的不变子空间的应用4.1 理论上的应用4.2 生活中的应用5.心得体会摘要线性变换的不变子空间理论是高等代数的重要理论之一，但是对于一个线性变换的不变子空间，在高等代数教材中也是简单的讲解一下，于是本文对它做了更进一步的讨论。空间中的任何元素经过映射后，新的元素仍然在这
2、个空间里，这个空间叫做这个映射下的不变子空间，不变子空间是原空间的一个子集，对于原空间运算也构成空间且封闭，其作用是可以在子空间去考虑原空间的代数性质，而不必回到原空间，从而将问题简化，本文的研究内容也是建立在这个基础之上的。关键词：线性变换 不变子空间的性质 地位 应用1. 线性变换的不变子空间1.1 代数学的发展历程简介数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有 100 多个主要分支学科的庞大的“共和国” 。大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由
3、于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。“代数” （algebra）一词最初来源于公元 9 世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔花拉子米（al-Khowrizm，约 780850）一本著作的名称，书名的阿拉伯文是ilm al-jabr wal muqabalah，直译应为还原与对消的科学 al-jabr 意为“还原” ，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；muqabalah 意即“对消”或“化简” ，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra
4、”一词后来被许多国家采用，英文译作“algebra” 。 花拉子米科学研究的范围十分广泛，包括数学、天文学、历史学和地理学等领域他撰写了许多重要的科学著作在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作：代数学和印度的计算术 1859 年，我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数” 。后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的代数学，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之” ，亦即：代数，就是运用文字符号来代替数字的一种数学方法。 古希腊数学家丢番图（Diophantus）用文字缩写来表示未知量，在公元 250 年前后丢番图写了一本数学巨著算术（Arithmetica） 。其中他
5、引入了未知数的概念，创设了未知数的符号，并有建立方程序的思想。故有“代数学之父”（Father of algebra）的称号。 代数是巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、印度人和西欧人一棒接一棒而完成的伟大数学成就。1.2 有关线性变换的不变子空间的概念(1)线性变换的定义如果对于线性空间 V 中的任意两个元素 、 和数域 P 中任意数 k，在线性变换 下都满足加法和数乘法则，那么变换 称为线性空间 V 下的线性变换。对于线性变换满足的加法和数乘法则，也可以说成线性变换保持向量的加法与数量乘法。（2）不变子空间的概念理解空间中的任何元素经过映射后，新的元素仍在这个空间里，这个空间叫做这个映射下
6、的不变子空间，不变子空间是原空间的一个子集，对于原空间运算也构成空间且封闭。其作用是可以在子空间去考虑原空间的代数性质，而不必回到原空间，从而将问题简化。1.3 线性变换的不变子空间的性质及性质的证明（1）V 空间本身和零子空间，对于每个线性变换来说都是 -子空间（2）某线性空间下的任意两个不变子空间的交与和仍然是该线性空间下的不变子空间。 对任意 a,b 属于 WU 有 a,b 属于 W, a,b 属于 U 而 W,U 是V 的线性变换 T 的不变子空间 所以 T(k1a+k2b) = k1T(a)+k2T(b) 属于 W, 也属于 U 所以 T(k1a+k2b)属于 WU 所以 WU 也是
7、 T的不变子空间. W+U 中的元素都可表示为 a+b 形式, 其中 a 属于 W, b 属于 U. 对 W+U 中任意两个元素 a1+b1, a2+b2 有 T(k1(a1+b1)+k2(a2+b1) = k1T(a1+b1)+k2T(a2+b1) = k1(T(a1)+T(b1)+k2(T(a2)+T(b1) = k1T(a1)+k2T(a2) + k1T(b1)+k2T(b2) 属于 W+U 所以 W+U 也是 T的不变子空间.（3）设矩阵 A，B 属于复数域上的 n 维矩阵，A，B 可交换，即 AB=BA证明 A 的特征子空间一定是 B 的不变子空间对 A 的属于特征值 的特征子空间
8、V 中的任一向量 x 有 Ax = x 所以 A(Bx) = BAx = Bx 所以 Bx 属于 V 所以 A 的特征子空间 V 是 B 的不变子空间.（4）如果 A 是正交变换，那么 A 的不变子空间的正交补也是 A 的不变子空间若 A 正交，则 A 可逆。并且由哈密尔顿-凯莱定理，A 的逆为其多项式。(Ax,y)=（x，A-1y） 。若 y 在 A 的不变子空间中，则 A-1y 也在A 的不变子空间中。若再 x 属于正交补，显然就有(Ax,y)=（x，A-1y）=0。得证。2.研究线性变换的不变子空间的必要性与可行性2.1 研究该问题的必要性（1）线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有
9、各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；（2）在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；。（3）该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；（4）随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。2.2 研究该问题的可行性线性代数是讨论矩
10、阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著九章算术 ）这为我们现在学习和研究线性变换上的不变子空间的一系列问题提供了坚实的理论基础。由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。“代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉” ，直到 1859 年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学” ，一直沿用至今。主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）
11、则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著九章算术 ） 。3. 线性变换的不变子空间的国内外研究状况3.1 国内研究状况“代数”这一词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉” ，直到 1859 年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学” ，一直沿用至今。3.2 国外研究状况(1)1843 年，哈密顿发现了四元数；(2)1844 年，格拉斯曼发表了它的著作Dielineare Ausdehnungslehre;(3)1857 年，阿瑟.凯莱介入了矩阵，这是最基础的线性代数思想之一；（4）由于费马和笛卡尔的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线
12、性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到 n 维向量空间的过渡。（5）1888 年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中。线性代数的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念。4.线性变换的不变子空间的应用4.1 理论上的应用(1)在数学的学习中会求某些线性变换下的不变子空间例如：已知线性变换 T 在一基底 Xn 下的矩阵为 A，要求 T 的不变子空间这组基包含了 n 个线性无关的向量 X1、X2.Xn，从
13、中选出任意选出 k 个向量(k 依次取 n，n-1，n-2.1)生成相应的子空间。(则有 n!/(k!*(n-k)!)种情况) 不妨设这个子空间为 LX1，X2.Xk=q | q=p1*X1+.+pk*Xk，pi 是数字(不变子空间的定义)。 然后在这个子空间中任取一个向量 q，得到 q 在基 X1、X2.Xn 下的坐标 X=(p1，p2.pk，0，0.0),然后求出 q 经过线性变换T(q)后在基 X1、X2.Xn 下的坐标 Y=AX。最后判断 Y 是不是属于 LX1，X2.Xk=q | q=p1*X1+.+pk*Xk，pi 是数字，即判断一下 Y 中第 k 个元素以后是不是全是零，若全是零
14、，则这个子空间是不变子空间，否则不是。依此类推，直到把所有的 k，以及 k 个向量时的每一种情况都考虑。（2）不变子空间在线性变换的矩阵的化简中的应用设 dimV=n,L(V),（3）不变子空间的方法在偏微分方程中的应用利用不变子空间方法，我们给出了一般薄膜方程的分类，在这些方程中微分算子 F（u）允许不变子空间 Wn，Wn 是由 n 阶常系数常微分方程定义的多项式型、三角型、指数型或者混合型线性子空间。在这些不变子空间中，我们构造了方程对应类型的精确解，并将这些方程约化成有限维动力系统。将不变子空间方法进行推广，并用于带有交错扩散项的非线性方程组的分类。在这些非线性扩散方程组中，向量微分算子
15、允许不变子空间 Wn1*Wn2,而 Wn1*Wn2 是由常微分方程组定义的线性子空间，n1、n2=2、3、4、5。在不变子空间 Wn1*Wn2 中，我们构造了这些方程的精确解，并将他们约化为有限维动力系统。在大多数情况中，这些精确解的两个分量属于不同的“纯量”子空间。利用与不变子空间方法相关的不变集方法，我们构造了二维带有能源项的非线性反应扩散方程的精确解。我们给出了在函数集合 E1和 E2 中不变的反应扩散方程，并得到他们的精确解。这些解可以看成多孔介质方程的自相似解的推广。我们还描述了这些精确解及其对应介面的行为。4.2 生活中的应用（1）不变子空间的直和在控性分解中的应用在现代控制理论中
16、，给定多输入定常线性系统 x=Ax+Bu,其中A、B 分别为实数域上的 n*n 与 n*m 矩阵，设 是矩阵 B 的列空间，A|表示由子空间， 经 A 循环而生成的 A 的不变子空间，它是该线性系统在 R 中的可控子空间，如果 A|B=R ，则对应系统是完全可控的，对A|，通常要将其分解为一些循环子空间的直和，成为能控性分解。例如：A=1 1 0 0 0 0 0 0；010 0 0 0 0 0；0 0 1 1 0 0 0 0 0 0；0 0 0 1 0 0 0 0；0 0 0 0 0 1 10；0 0 0 0 -1 0 0 1；0 0 0 0 0 0 0 1；0 0 0 0 0 0 -1 0，B=1 8；2
