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1、 第 1 页 共 3 页 关于等差数列各项的同名三角函数值求和的探究陕西省西安中学 陈昱坤【关键词】 三角恒等式证明 等差数列 公差 积化和差公式 和差化积公式 归纳演绎法【问题的提出】 在学习三角恒等变形时，很多同学都做过这样的习题：？（答案为 cot ）54sin3i52sini 10？(答案为 cot ）7677 24？coscos这样的问题，每一次遇到总是摸不着头脑，颇有老虎吃天，无处下口之感。即便绞尽脑汁，算出了正确答案，但心中总是感觉像是瞎猫碰上死耗子。于是提出问题：1、 这样的问题有什么共同的特点吗？2、 解决这样的问题有一般的方法吗？【问题的解决】以 ？为例：76sin73si
2、2in7si 1、 观察这些问题的共同特点。通过观察，不难发现：这些式子都是一个等差数列各项的同名三角函数值的和。 （上式是公差为 的等差数列各项的正弦值的和）2、 联想。由于这些式子一般较长，联想到数列中求和的常用方法列项相消法，是否可以采用它呢？关键是如何列项。又想到三角函数的 积化和差公式 注 能使一项变为两项。但如何凑“积”？又如何使化出来的各项前后相消呢？3、 尝试。仔细观察积化和差公式的特点，将原式乘以 ( 即公差 一半的正弦值)可达到14sin7消项目的。原式= 14sini)76si372si(in= si 14sin76i14in3si = 4sin )1476cos()14
3、76cos(2)172co()172co()147cos()cs(21 第 2 页 共 3 页 = 14sin)143cos()5co3()14cos(21= 14sin)c(= si62= 14cot问题得到了解决。【问题的延伸】上面讨论了求 ？的方法。发现将原式乘76sin73si2in7si 以 （ 为公差）是一种十分有效的方法。将上述问题推广到 n,同样的方法，可得：2sindnn2cot)1(si3sii更一般的，有： 2sini)1i()1(sisin ddd 等差数列的各项正弦值的和有上述结论，余弦值是否也有类似结论呢？答案是肯定的。将中用 代替 ，d 代替 d，便可得到：2 2
4、sini)1co()1(coscos dn令 d=，由，得：2sinsin3si2ins 令 d=，由，得：2sin1cos3cos2cos令 d=，由，得： 第 3 页 共 3 页 sin)12sin(5si3ins 2令 d=，由，得：sinco)12cos(5cs3ocs令 d= ，由，得：n0)(cscs2cs n在中，用 代替 ，得：sin)1(2i6i4iin 在中，用 代替 ，得：i)co(scos2cos 由/，得： nnsi1)12si(5sin3isn64 于是，一些更复杂的结论便应运而生。【思想方法的总结】问题解决后，回过头来，我们还应当总结一下用到的思想方法归纳演绎法此
5、问题提出的本身就是这一思想方法的体现：由零散的、不规则的问题探寻一般的方法。而问题的解决同样也体现者此思想方法：我们通过对一道“特殊”问题的研究，进而得出一般的结论。此即为“归纳” 。问题的延伸则是通过对本质结论的不断变换，创造出许许多多形式更为奇妙的式子，此即为“演绎” 。归纳便是由特殊总结到一般，演绎便是由一般衍生出一般。特殊问题往往“高度”不够，不能揭示问题的本质。因此，当遇到特殊的问题，尤其是多个具有一定相似性问题，我们便要想到“归纳” ，归纳出它门的共性（本质特点） ，寻求一般的结论。这样一来，我们便能“更上一层楼” 。一般的问题（常常表现为范围广、未知因素多等）又往往难于下手，这时将问题演绎出一些更特殊的问题以寻求突破口经常能起到“事半功倍”的效果，不失为一个妙法。【参考文献】 三角函数 沈虎跃 浙江大学出版社注： 三角函数积化和差公式 )sin()si(21cosin)cos()cs(sc21in
